¿Cómo puedo expresar $\sum_{k=0}^n\binom{-1/2}{k}(-1)^k\binom{-1/2}{n-k}$ sin utilizar sumas ni signos menos?

Question

¿Cómo puedo expresar $$\sum_{k=0}^n\binom{-1/2}{k}(-1)^k\binom{-1/2}{n-k}$$ sin utilizar sumas ni signos menos?

Answer 1

He aquí un enfoque de función generadora. Tenemos, por el teorema del binomio, $$\sum_k \binom{-1/2}{k} (-1)^k z^k = (1-z)^{-1/2} \tag{1},$$ y $$\sum_k \binom{-1/2}{k} z^k = (1+z)^{-1/2}.$$ Puesto que su suma es la convolución de $\binom{-1/2}{k} (-1)^k$ y $\binom{-1/2}{k}$ la función generadora de su suma es $(1-z)^{-1/2} (1+z)^{-1/2} = (1-z^2)^{-1/2}$ . Aplicando de nuevo el teorema del binomio (Ec. $(1)$ con $z^2$ en lugar de $z$ ), tenemos $$\sum_{k=0}^n \binom{-1/2}{k} (-1)^k \binom{-1/2}{n-k} = \begin{cases} \binom{-1/2}{n/2} (-1)^{n/2}, & n \text{ is even;} \\ 0, & n \text{ is odd.} \end{cases}$$

Pero como $\binom{-1/2}{n} = \left(\frac{-1}{4}\right)^n \binom{2n}{n}$ (véase Matemáticas concretas p. 186, Ec. 5.37), esto se simplifica a $$\sum_{k=0}^n \binom{-1/2}{k} (-1)^k \binom{-1/2}{n-k} = \begin{cases} \frac{1}{2^n} \binom{n}{n/2}, & n \text{ is even;} \\ 0, & n \text{ is odd.} \end{cases}$$