¿Qué es la categoría de Eilenberg-Moore de este diagonal como Mónada?

Question

El Eilenberg-Moore categoría de una mónada $(T:C \to C, \eta, \mu)$ tiene como objetos de pares $(x \in Ob(C), h:Tx \to x)$ tal que $h \circ \mu_x = h \circ Th:T(Tx) \to x$$h \circ \eta_x = id_{x}$. Una de morfismos $f:(x, h) \to (x', h')$ en esta categoría es una de morfismos en $f:x \to x'$ $C$ tal que $f \circ h = h' \circ Tf:Tx \to x'$$C$.

Un ejemplo es la mónada que envía un conjunto de secuencias finitas de los miembros de ese conjunto (por ejemplo,$\{A, B, C\} \mapsto \{[], [A], \ldots, [BCAAB], \ldots\}$) y funciones a las funciones que actúan sobre cada elemento de la secuencia de forma individual, con $\eta(x) = [x]$$\mu([[x1x2\ldots][y1y2\ldots]\ldots]) = [x1x2\ldots y1y2\ldots,\ldots]$. Este es una monada, y su EM-categoría es equivalente a la categoría de monoids.

Mi pregunta se basa en la mónada, voy a llamar a $T$. Es una mónada en $SET$. Envía un conjunto $A$ para el conjunto de secuencias infinitas de los elementos de $A$. Envía una función de $f: A \to B$ a la función que toma una secuencia infinita de $x \in A$ a a la secuencia infinita de $f(x)$s. $\eta(x) = [x, x, x \ldots]$ repite para siempre. $\mu$ se basa en la diagonalización. Es decir, dada una secuencia infinita de secuencias infinitas de $A$, se da la siguiente secuencia: el primer elemento de la primera secuencia, el segundo elemento de la segunda secuencia, el tercer elemento de la tercera secuencia, etc... . Por ejemplo: $$\mu([[x1, x2, x3 \ldots],[y1, y2, y3 \ldots], [z1, z2, z3 \ldots], \ldots] = [x1, y2, z3, \ldots].$$

Mi pregunta es, es el EM-categoría de este equivalente a la categoría de comunes de la estructura algebraica? ¿Qué es la EM-categoría de esta mónada en $SET$?

Answer 1

Este es un caso especial de la denominada "lector mónada" o "medio ambiente "mónada", que se define como sigue para cada objeto $E$ en un cartesiana cerrada categoría $\mathcal{S}$:

• El endofunctor es $[E, -] : \mathcal{S} \to \mathcal{S}$.
• La unidad de $\eta_X : X \to [E, X]$ es la diagonal de la incrustación, es decir, los morfismos $[1, X] \to [E, X]$ inducida por el único morfismos $E \to 1$.
• La multiplicación $\mu_X : [E, [E, X]] \to [E, X]$ corresponde a los morfismos $[E \times E, X] \to [E, X]$ inducida por la diagonal de la incrustación de $E \to E \times E$.

De hecho, asumiendo $\mathcal{S}$ también tiene límites finitos, esta es la mónada inducida por la contigüidad $$E^* \dashv \Pi_E : \mathcal{S}_{/ E} \to \mathcal{S}$$ se define de la siguiente manera:

• $E^* : \mathcal{S} \to \mathcal{S}_{/ E}$ envía cada objeto $X$ $\mathcal{S}$ al objeto de $(E \times X, \pi_X)$ $\mathcal{S}_{/ E}$ donde $\pi_X : E \times X \to E$ es la proyección.
• $\Pi_E : \mathcal{S}_{/ E} \to \mathcal{S}$ envía cada objeto $(Y, q)$ $\mathcal{S}_{/ E}$ al objeto de $\Pi_E (Y, q)$ definido por la siguiente pullback diagrama, $$\requieren{AMScd} \begin{CD} \Pi_E (Y, q) @>>> [E, Y] \\ @VVV @VV{[E, q]}V \\ 1 @>>{u}> [E, E] \end{CD}$$ donde $u : 1 \to [E, E]$ corresponde a $\mathrm{id} : E \to E$.

En particular, hay un canónica comparación functor de $\mathcal{S}_{/ E}$ a la categoría de álgebras para la inducción de la mónada. Por desgracia, no suelen ser fieles, por no hablar de una equivalencia. (Esto refleja el hecho de que $\Pi_E : \mathcal{S}_{/ E} \to \mathcal{S}$ no suelen ser fieles.)

A mí me parece que no hay una buena descripción de las álgebras de esta monada de otra manera que como "objetos de la generalizada funciones". Por ejemplo, cuando se $\mathcal{S} = \mathbf{Set}$, dado un mapa de $p : I \to E$ y un conjunto $X (i)$ por cada $i \in I$, podemos hacer $A = \prod_{i \in I} X (i)$ a un álgebra con la acción $\alpha : [E, A] \to A$$\alpha (f) (i) = f (p (i)) (i)$. (Aquí, estamos pensando en los elementos de $\prod_{i \in I} X (i)$ como funciones especiales con el dominio $I$ y codominio $\bigcup_{i \in I} X (i)$.) Tenga en cuenta que $$\alpha (\mu_A (f)) (i) = \mu_A (f) (p (i)) (i) = f (p (i)) (p (i)) (i) = [E, \alpha] (f) (p (i)) (i) = \alpha ([E, \alpha] (f)) (i)$$ por lo $\alpha : [E, A] \to A$ es de hecho una acción.

En el caso de que $I = E$, $p = \mathrm{id}_E$, y $X (i)$ no depende de $i$, $(A, \alpha)$ es un servicio gratuito de álgebra. Qiaochu del comentario sobre las principales ultrafilters puede ser visto como el caso especial donde $I = 1$.