Un contraejemplo en topología

Question

Conectividad simple semilocal es una propiedad que surge en Topología Algebraica en el estudio de los espacios de cobertura, a saber, es una condición necesaria para la existencia de la cobertura universal de un espacio topológico X. Significa que todo punto $x \in X$ tiene un barrio $N$ de forma que cada bucle de $N$ es nulo-homotópico en $X$ (no necesariamente a través de una homotopía de bucles en $N$ ). Tal y como yo lo veo, el prefijo "semi" se refiere más a "simplemente conectado" que a "localmente", ya que si tal $N$ existe, todos los demás barrios de $x$ en $N$ también tienen la propiedad, por lo que cada punto tiene un sistema fundamental de vecindarios (abiertos) para los que se cumple la propiedad ( EDIT véase el comentario de Qiaochu). En cambio, no es cierto que un espacio semilocal simplemente conexo sea localmente simplemente conexo (es decir, cada punto tiene un sistema fundamental de vecindades abiertas simplemente conexas): tomemos el espacio $$ X = \frac{H \times I}{ \sim } $$ donde $H$ es el " Pendiente hawaiano ", o pendiente infinita (que es un ejemplo de espacio no semilocal simplemente conectado) y $\sim$ es la equivalencia que identifica $H \times \{0\}$ a un punto.

Sin embargo, me interesaba encontrar otro tipo de contraejemplo. Consideremos la propiedad topológica (llamémosla $*$ ) consistente en la existencia, para todo $x \in X$ de una vecindad simplemente conexa, no necesariamente abierta, de $x$ . Tenemos $$ \text{semi-local simple connectedness} \Leftarrow * \Leftarrow \text{local simple connectedness} \wedge \text{simple connectedness} $$ Me pregunto si $$ \text{semi-local simple connectedness} \Rightarrow * $$ retenciones. Intuitivamente no debería, pero me cuesta encontrar un contraejemplo. Por ejemplo, el espacio $X$ descrito anteriormente no funcionará porque simplemente está conectado (incluso contraíble). Me parece que, si existe un contraejemplo, debe tener patologías locales (para asegurar que un cierto punto $x$ no tiene una vecindad simplemente conectada), y globalmente el espacio debe permitir bucles cercanos a $x$ sea nulo-homotópico, pero de tal manera que cada vecindad $N$ de $x$ contiene un bucle lo suficientemente pequeño como para que no se contraiga en $N$ . EDIT Además, estoy buscando un contraejemplo que sea un espacio localmente conectado por caminos (una respuesta anterior mostraba un contraejemplo sin esta propiedad.. pero @answerer era interesante de todas formas, ¡no deberías haberlo borrado!).

Pero quizá me equivoque y las dos afirmaciones sean equivalentes, o quizá me esté perdiendo algo muy sencillo. Si alguien tiene alguna idea, por favor, que la comparta, ¡gracias!

Answer 1

Llama al punto "interesante" del pendiente hawaiano $q$ (punto de intersección de todos los círculos). En tu espacio $X$ pegar el punto cociente $\{H \times \{0\}\}$ al grano $(q,1) \in H \times I$ esencialmente doblando tu cono en un bucle. Llame al espacio cociente resultante $Y$ y el punto pegado $p$ . Tenga en cuenta que $p$ podría describirse como $(q,1)$ o como $\{H \times \{0\}\}$ . ( $Y$ también puede describirse como el Torus cartográfico del mapa que lleva todo el pendiente hawaiano hasta el punto $q$ ).

$Y$ es semilocalmente simplemente conexa pero no satisface la propiedad $∗$ .

Para ver $Y$ es semilocalmente simplemente conexo, nótese que cualquier punto tiene una vecindad que es disjunta de un conjunto de la forma $H \times \{x\}$ para algunos $x \in I$ . La inclusión de dicho barrio en $Y$ es nulo-homotópico (basta con retraer la parte contenida en $H \times [0,x)$ a $p$ entonces sigue la retracción de deformación fuerte de $X$ a $\{H \times \{0\}\}$ ), lo que sin duda implica que cualquier bucle contenido en él es nulohomotópico en $Y$ .

Pero $p$ no tiene una vecindad simplemente conectada. Cualquier vecindario $N$ contiene un bucle $L \times \{1\}$ en $H \times \{1\}$ que sólo podía contraerse en $N$ incluyendo todos los $L \times I$ en $N$ . En particular, tendría que incluir todos los $\{q\} \times I$ en $N$ Pero $\{q\} \times I$ es a su vez un bucle que no es nullhomotopic en $Y$ por lo que tampoco es nulo-homotópico en $N$ . Así, $N$ no pueden conectarse sin más.