Estoy tratando de mostrar que $x^2+3x-1$ es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{13}]$. Tengo que las raíces son $\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$ y $\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$, pero no creo que esto es suficiente para mostrar la irreductibilidad. ¿Qué más necesito?
Respuesta
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De hecho, puesto que $x^2+3x-1$ es un polinomio cuadrático (monic), es suficiente; la única manera que podría factor es en factores lineales, que requieren que sus raíces se encuentran en el anillo dado.
Tenga en cuenta que esto no es cierto para quartics y mayor: por ejemplo, factores $x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2–2x+2)$ $\mathbb{Z}$ a pesar de sus raíces sin duda no son números enteros.
