Deje $(X,\tau)$ $T_1$- espacio y $X$ es un conjunto infinito. A continuación, $(X,\tau)$ tiene un subespacio homeomórficos a $(\mathbb{N},\tau_2)$ donde $\tau_2$ es finito, cerrado en la topología o la topología discreta.
Mi enfoque aquí es el primero en encontrar un candidato subespacio y mostrar lo que es, de hecho, homeomórficos del espacio topológico.
Sé que ciertas propiedades de los espacios tienen que ser preservados si dos espacios son homeomórficos, por ejemplo si $(E,\tau_e)$ es discreta, a continuación,$(W,\tau_w$) es discreto y $E,W$ debe tener el mismo cardinalidades siempre para un bijection de existir. Otras propiedades se conservan separación axioma como $T_0,T_1,T_2$; cofinite la topología, la topología discreta y topología indiscreta.
Por lo tanto, pensé que mi objetivo debe encontrar un subespacio de la $T_1$ espacio que es discreta o cofinite. Y, por supuesto, el conjunto de $Y$ tiene que ser countably infinito en todos los casos.
Supongo que para un finito cerrado en la topología de la que he definido un conjunto de $Y$ tal que $Y$ no contenga todos los punto que pertenecen a algunos finito conjunto abierto $O\in \tau$. Pero el problema es que esto aún deja a aquellos conjunto abierto que tiene una infinidad de complemento.
Entonces yo sé que cada conjunto cerrado $A$ de un subespacio $(Y,\tau_y)$ se cierra el fib no es un conjunto cerrado $W$ $(X,\tau)$ tal que $A=Y\cap W$. Mi trabajo sería la de "filtro" todos $W$ que son infinitas, así que o bien resultar en $Y$ o $\phi$. Así que pensé en la definición de $Y$ como subconjunto de todos estos infinitos $W$ que están cerradas. Esto implica $Y\subseteq \bigcap_{j} W_j$ algunos $j\in J$ donde $J$ es de algún conjunto de índices. Pero, ¿cómo puedo garantía de que ese $Y$ es de hecho contables infinito?
Y para la topología discreta, Si tal espacio como en el anterior no existe, entonces existe un subespacio homeomórficos discretos subespacio. No tengo la menor idea de esto, puedo conseguir alguna sugerencia?
Intento de actualización: Como se sugiere desde Daniel fischer comentario.
Primero voy a probar un simple lema, para empezar.
Lema : Si $(X,\tau)$ $T_1$ espacio y algunas conjunto finito $A=\left\{x_1,x_2,x_3, ..., x_n\right\}$ está abierto en $\tau$, entonces el singleton conjuntos de $\left\{x_i\right\}$ tal que $i\in \left\{1,2,3,..,n\right\}$ también están abiertas en $\tau$.
Sabemos que el conjunto de $X\setminus A=X \setminus \cup^{n}_{i=1}\left\{x_i\right\}$ es cerrado en $\tau$. Desde $(X,\tau)$ $T_1$ espacio cada singleton conjunto es cerrado en $\tau$.
Ahora sabemos que, Finito de la unión de conjunto cerrado cerrado. Por lo tanto, sabemos que $\left(X \setminus \cup^{n}_{i=1}\left\{x_i\right\}\right)\cup \left\{x_k\right\} \cup \left\{x_l\right\} \text{ ... (n-1) times} $ es cerrado donde el índice de $k\neq l \neq ...$ .
Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $X\setminus \left\{x_i\right\}$ será cerrado $\implies$ $\left\{x_i\right\}$ estará abierto.
El resultado que va a ser útil e implícitas latente en la prueba de ello es el contra-declaración positiva de que si alguna cantidad finita de singleton conjuntos no están abiertos en $\tau$, entonces cualquiera de su unión no está abierto.
Prueba: Ahora, voy a asumir que $(X,\tau)$ no tiene countably infinito subespacio que es discreto.
Un espacio que no es discreto iff $\exists$ $\left\{x\right\}$ para algunos $x \in X$ que no está abierto.
Ahora Si hay que ser finito cantidad de estos que siempre podía quitar estos puntos para conseguir un espacio discreto, por lo tanto no puede ser finito cantidad de estos.
Denota el conjunto $A=\left\{x : \left\{x\right\} \text{ is not open }\right\}$
Entonces tiene que ser el caso de que $X\setminus A$ ser finito. Si no fuera finito que sea el espacio de $(X \setminus A, \tau_s)$ puede ser countably infinito espacio discreto o uno de sus subespacio le va a ser contable infinito discreto subespacio.
Completa la prueba: Ahora consideremos el conjunto subespacio $(A,\tau_a)$ que se obtiene después de eliminar un número finito de singleton establece, por el lema de este espacio no debe tener finito abierto conjuntos.
Nuestro único problema es que ahora los bloques abiertos son infinitas y tienen un infinito complementar así.
Deje $\mathcal{O}=\left\{O\in \tau_a \; |\; A\setminus O \text{ is infinite.}\right\}$
Puesto que no hay finito abierto conjuntos sabemos que para cualquier $O_i,O_j \in \tau_a$ ,$O_i\cap O_j$ es $\phi$ o de otro infinito $O_k\in \mathcal{O}$. Esto implica que el conjunto de $\mathcal{O}$ se puede dividir en algún sistema de conjuntos de decir $\mathcal{O_k}$ donde $k \in K$ $K$ es cierto índice fijado de tal manera que los conjuntos de $\bigcap \mathcal{O_k}$ son pares distintos para cada una de las $k \in K$.
Finalmente puedo coger uno de esos $\bigcap \mathcal{O_k}$ e inducir una topología en él para deshacerse de cualquier conjunto abierto que tiene una infinidad de complemento. Este espacio es ahora inexplicablemente o countably infinito, cuya requiere subespacio puede ser tomada si es necesario.
Esto completa la prueba de que una cofinite subespacio existe necesariamente.
