Teoría de números: probar$a_1 = a_2 = ... = a_{mn+1}$

Question

Tenemos un conjunto de enteros$a_1, a_2, ..., a_{mn+1}$. Si ponemos un número a un lado, podemos dividir el resto en grupos$m$ con un número$n$ de manera que la suma de los números en cada grupo sea la misma. Pruebalo $a_1 = a_2 =$ $... = a_{mn+1}$

¿Cómo puedo probar esta afirmación?

Answer 1

Deje $i$ ser tal que $a_i$ es el número más pequeño en el conjunto. Consideremos ahora el conjunto $\{a_1-a_i,\dots,a_{mn+1}-a_i\}$: cada número en este conjunto es no negativo, y al menos un número es $0$, y esto claramente tiene la misma propiedad con el juego original tenía. Pongamos $b_j:=a_j-a_i$, por lo que el $b_i=0$.

Deje $S:=\sum_{j=1}^{mn+1}b_j$. Si quitamos $b_i=0$, por la propiedad de que el conjunto se deduce que $S$ es divisible por $n$. Si eliminamos cualquier otro $b_j$, entonces por la propiedad $S-b_j$ es divisible por $n$, lo que implica que todos los $b_j$ es divisible por $n$. A continuación, podemos considerar el conjunto $\{b_1/n,\dots,b_{nm+1}/n\}$, que a su vez tiene la propiedad de que el conjunto inicial. Ya podemos repetir este argumento un número infinito de veces, el $b_j$ tuvo que ser todos iguales a $0$.

Answer 2

Yo voy a construir en @Leo163 la respuesta.

Suponga que no hay dos $a_i$ son los mismos.

Consideremos el conjunto a $(b_1, b_2, ..., b_i, ... b_{mn+1})$ y asumir WLOG $b_i = 0$.

Deje $N = \sum_{i=1}^{mn+1}b_i$.

Deje $S_k$ representan la suma de los números en los grupos de al $b_k$ es eliminado.

$N = mS_1 + b_1$

$N = mS_2 + b_2$ etc excepto

$N = mS_i$ $b_i = 0$

Así que podemos ver que $m \mid b_k$ $1 \le k \le mn+1$

Ahora podemos construir otro conjunto $(b_1/m, b_2/m,...,b_i/m, ... b_{mn+1}/m)$ con propiedades similares, como el conjunto original.

Podemos seguir adelante en este infinito ascendencia $\implies b_k = 0$ $1 \le k \le mn+1$

$\implies a_i = a_j$ $i \ne j$