Término de Chern-Simons

Question

En la literatura sólo puedo encontrar los términos de Chern-Simons (es decir, para un colector tridimensional$A \wedge dA + A \wedge A \wedge A$) para colectores de dimensiones impares. ¿Por qué no puedo escribir tales formas para variedades de dimensión pareja?

Answer 1

Cuando usted mira la definición de la Chern–Simons formulario

$d\omega_{2k-1}={\rm Tr} \left( F^{k} \right)$

uno tiene que entender que los $F$ $2$- forma. De modo que el lado derecho $F^k$ siempre será un $2k$-forma (con $k \in Z^+$ ). De forma que el exterior derivado $d$ de la Chern–Simons forma $\omega$ necesita entonces ser un $2k-1$-forma (desde el exterior derivada de una $n$-form es una $n+1$-forma) y desde $k$ es un número entero positivo $\omega$ tiene que ser una extraña forma por definición.

Answer 2

Los puntos de partida para la construcción de la Chern-Simons términos son objetos llamados Chern-Pontryagin densidades. En un 2n dimensiones del colector, estas son de la forma $$ {\mathcal{P}}^{2n} = \alpha\epsilon^{\mu_1\mu_2...\mu_{2n}}Tr F_{\mu_1\mu_2}...F_{\mu_{2n-1}\mu_{2n}} $$ donde F es la curvatura de la 2-forma de algunos G-conexión (G es el grupo gauge). Estos son gauge invariantes, cerrado, y su integral sobre la variedad M (compacto, sin límite) es un número entero que es un invariante topológico. Estos tipos de invariantes son ejemplos característicos de las clases.

Ahora ${\mathcal{P}}^{2n}$ pueden ser localmente se expresa como un diferencial $$ {\mathcal{P}}^{2n} = d({\mathcal{C}}^{2n-1})$$ of a 2n-1 form. $ \ {\mathcal{C}}^{2n-1}$ is the Chern Simons form. (It can be written in the familiar form in terms of the connection form A). It has the remarkable property that if I perform a G-gauge transformation, the action obtained by integrating $ \ {\mathcal{C}}^{2n-1}$ es el indicador de invariantes. En ningún momento es una métrica que intervienen en esta construcción, por lo que es una teoría topológica.

De todos modos, volviendo a la pregunta, el Chern Pontryagin densidad de ${\mathcal{P}}^{2n}$ que empezamos con sólo está definida en un 2n (he.e incluso) dimensiones del colector, así que por tanto la Chern-simons plazo sólo está definida en un extraño dimensiones.

Edit: Ejemplo en el que Chern de Simón plazo en 3d se produce:

El Chern-Pontryagin clase es la integral de la C. P. de la densidad en un colector 4d $$ {\mathcal{P}} \propto \int d^4xTr({^*F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu})$$ $$ \propto \int d^4x \ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}Tr( F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma})$$ We can write the C.P. density as the divergence of a 4-current (the Chern Simons current) $$Tr({^*F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}) = \partial_{\mu}C^{\mu}$$ where $$C^{\mu} = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \ tr(A_{\nu}\partial_{\rho}A_{\sigma}+\frac{2}{3}f^{abc}A^a_{\nu}A^b_{\rho}A^b_{\sigma}) $$ If we now pick a local coordinate system (on the 4 manifold) such that $\frac{\partial}{\partial x^0}$ (say) is in the direction of the vector $C^{\mu}$, then we just look at the other components in the epsilon symbol (they're guaranteed to be 1,2,3), then we just freeze the $x^0$ dependence of the $A_{\nu}(x^{\mu})$. We've now got ourselves a 3 form on the three-manifold $x^0$ = constante.