Inducción de una transformación lineal en el espacio cociente

Question

Considere la posibilidad de $W\subseteq V$, un subespacio sobre un campo $\mathbb{F}$ $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal con la estipulación de que los $T(W)\subseteq W$. Luego tenemos a la inducida por la transformación lineal $\overline{T}:V/W \rightarrow V/W$ tal que $\overline{T}=T(v)+W$.

Voy a mostrar que esta transformación inducida por el bien definidas, y que dada la $V$ finito y $T$ un isomorfismo que $\overline{T}$ es un isomorfismo. Estoy teniendo un poco de problemas con esta parte. Es decir, quiero mostrar que el $ker(\overline{T})=W$, y estoy en el punto donde me doy cuenta de que esto significa $T(v)\in W$. ¿Cómo sé que no hay algunos random $v\in V\setminus W$ tal que $T(v)\in W$.

En particular, es todo esto cierto si $V$ no es finito dimensionales? Yo no puedo pensar inmediatamente en un contraejemplo...

Answer 1

Cuando se restringe a $W$, que aún así obtener una transformación lineal-esto es mucho más claro. Desde $T$ es inyectiva, su restricción a $W$ todavía es inyectiva. Por lo tanto, la dimensión de la imagen $T(W)$ es igual a la dimensión de $W$. Desde $T(W)\subseteq W$, fácilmente se deduce que tenemos una igualdad. Desde $T|_W$ es tanto inyectiva y surjective, es un isomorfismo.

Algunas cosas cambian cuando usted va al infinito-dimensional caso. Primero de todo, es que puede darse el caso de que $T(W)\subseteq W$, sin igualdad. Por ejemplo, esto podría ocurrir si $W$ es un subconjunto cerrado de $V$, pero $T(W)$ no lo es. También, si la topología de los involucrados, un isomorfismo lineal puede no ser el tipo de isomorfismo que usted está buscando, usted puede querer bicontinuity así.

Answer 2

Sugerencia: Dado un isomorfismo lineal$T : V \rightarrow V'$ de espacios vectoriales de dimensión finita, ¿puede probar que la transformación lineal restringida$T|_W : W \rightarrow T(W)$ es un isomorfismo?

Si$V' = V$ y$T(W) \subseteq W$ como en su problema, puede probar que$T(W) = W$? En ese caso, tendrás$T^{-1}(W) = W$, lo que puede resultar útil al mostrar que$\ker \overline{T} = \{0\}$.