Sé que un grupo finito no necesita tener un subgrupo para ningún índice primo en particular (por ejemplo,$A_4$ no tiene ningún subgrupo del índice$2$, pero tiene uno del índice$3$). ¿Existe un grupo finito no triviales sin subgrupos de índice primo?
Respuesta
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El simple grupo de $\operatorname{PSL}(2,8)$ no tiene ningún subgrupo de primer índice. Su máxima subgrupos tienen índices de 9, 28 y 36.
En general $\operatorname{PSL}(2,q)$ orden $q(q-1)(q+1)/\gcd(q-1,2)$. Set $d=\gcd(q-1,2)$.
Tiene (por lo general) máxima subgrupos que son diedro de la orden de $2(q+1)/d$$2(q-1)/d$. Tiene un máximo subgrupo de orden $q(q-1)/d$. Si $q$ es una potencia de $r$ (con el poder en sí prime), a continuación, $\operatorname{PSL}(2,r)$ es (en general), subgrupo maximal. También tiene (por lo general) máxima subgrupos de pedidos $12$, $24$, o $60$ ($A_4$, $S_4$, o $A_5$ dependiendo de algunas congruencias en $q$).
Para $q=8$, podemos obtener la orden es de 504. No tiene subgrupos de orden de 60 por Lagrange. Por lo que debemos comprobar la (posiblemente) la máxima subgrupos de orden $2(q+1)/d = 18$, $2(q-1)/d = 14$, $q(q-1)/d = 56$, $2(2-1)(2+1)/\gcd(2-1,2) = 6$ (no máxima en este caso excepcional), y $24$ (que en este caso excepcional se está contenida en la orden de 56 grupo).
Estos subgrupos tienen índice 28, 36, 9, 84, y 21.
El subgrupo de clasificación es en Huppert del Endliche Gruppen Cap II. §8, páginas 191-214, culminando en Dickson Hauptsatz 8.26 en la página 213 (que es sólo la versión más precisa de lo que he dicho antes).
La mayoría simple de los grupos no tienen subgrupos de incluso el primer poder del índice. La lista de excepciones es bastante corto y se da en Guralnick (1983). En particular, la cíclica grupos de primer orden, un par de extraños PSL(n,p), alternando los grupos de primer grado de poder, el primer grado Mathieu grupos, y PSp(4,3). Cada otro grupo simple es un contraejemplo a la afirmación de que una no-identidad de grupo debe tener un poco de subgrupo de primer índice de poder. Por ejemplo, la alternancia de grupo $A_{6} = \operatorname{PSL}(2,9)$ tiene la máxima subgrupo índices de 6, 6, 10, 15, y 15.
- Guralnick, Robert M. "Los subgrupos de primer índice de poder en un grupo simple." J. Álgebra 81 (1983), no. 2, 304-311. MR700286
