Probar o refutar este argumento

Question

Sea$L>0$ y sea$\Omega$ el conjunto de todas las funciones integrables de$[0,L]$ a$]0,+\infty[$.

Para todos$\varphi, \psi \in \Omega$ define$\left \langle \varphi,\psi \right \rangle:=\int_{0}^{L}\varphi(x)\psi(x)dx$.

Permitir$f,h\in \Omega$ tal que$\left \langle f,h \right \rangle=\frac{1}{2}L^{2}$. Además, considere el conjunto
$\omega(k):=\{g\in \Omega\colon \left \langle \textbf 1,g \right \rangle=1\wedge\left \langle h,g \right \rangle=k>0\}$,
donde$\textbf 1\in \Omega$ es la función que asigna todo a$1$. Tenga en cuenta que$f$ o$h$ no son$\textbf 1$.

¿Es cierto que para cada$k\in]0,+\infty[$:

$\displaystyle \frac{\max \limits_{\large g\in \omega(k)}\left \langle f,g \right \rangle}{\min \limits_{\large g\in \omega(k)}\left \langle f,g \right \rangle}$ es constante, es decir, ¿existe$\alpha \in \Bbb R$ tal que$\displaystyle \frac{\max \limits_{\large g\in \omega(k)}\left \langle f,g \right \rangle}{\min \limits_{\large g\in \omega(k)}\left \langle f,g \right \rangle}=\alpha$.

Answer 1

Creo que lo que el OP quería decir era:

Establecer$\Omega_1 := \{g \in \Omega \mid \langle \textbf 1,g\rangle = 1\}$. Entonces, ¿es cierto que$\displaystyle \frac{\max \limits_{\large g\in \Omega_1}\left \langle f,g \right \rangle}{\min \limits_{\large g\in \Omega_1}\left \langle f,g \right \rangle}$ es constante, es decir, que existe$\alpha \in \Bbb R$ tal que$\displaystyle \frac{\max \limits_{\large g\in \Omega}\left \langle f,g \right \rangle}{\min \limits_{\large g\in \Omega}\left \langle f,g \right \rangle}=\alpha$?

En este caso, la respuesta es no. Por ejemplo, deje$$f_1(x) = 1$ $ y$$f_2(x) = \begin{cases} 1,\quad &x \in [0,1]; \\ 2,\quad &x \in ]1,2].\end{cases}$ $ Entonces$$\frac{\max \limits_{\large g\in \Omega_1}\left \langle f_1,g \right \rangle}{\min \limits_{\large g\in \Omega_1}\left \langle f_1,g \right \rangle}=1,$ $ pero observe que$\max_{g \in \Omega_1} \langle f_2,g\rangle \geq \frac{\|f_2\|_2^2}{\|f_2\|_1} = \frac53$, y$\min_{g \in \Omega_1} \langle f_2,g\rangle \leq 1$ cerca de ser$g$ on$1$ y$[0,1]$ en$0$) so$]1,2]$ $