Se están mezclando tres conceptualmente diferentes categorías de las "regularizaciones" aparentemente divergentes de la serie (y de las integrales).
El tipo de resummations que Hardy sería hablar son similares a los zeta-función de regularización - el ejemplo de que es más familiar para los físicos. Por ejemplo,
$$S=\sum_{n=1}^\infty n= -\frac{1}{12}$$
es el más famoso de la suma. Tenga en cuenta que este resultado es único; es un número definido. En particular, que permite calcular la dimensión crítica de bosonic la teoría de cuerdas de $(D-2)S/2+1=0$ y el resultado es $D=26$. Fundamentalmente hablando, no hay una verdadera diferencia en la suma. El "divergentes piezas" puede ser restado "completamente".
Sin embargo, en la costumbre de los casos de renormalization de un bucle en el diagrama en la teoría cuántica de campos, hay divergencias. Renormalization quita el "infinito parte" de estos términos. De un número finito de término es de izquierda, pero la magnitud del término es la que no se determina únicamente, como lo fue en el caso de que la suma de los enteros positivos. En su lugar, cada tipo de una divergencia en un bucle diagrama produce un parámetro análogo a la constante de acoplamiento - que tiene que ser ajustado. Porque el finito de resultados puede ser "cualquier cosa", esto es claramente algo más que la zeta-regularización y, más en general, Hardy procedimientos cuyo objetivo era producir única, bien definida resultados aparentemente divergentes expresiones. Infinitesimalmente hablando, la Renormalization Grupo sólo mezcla la de menor orden de las contribuciones (por el número de bucles) en un orden superior de la contribución.
Así que estos son dos cosas diferentes que uno debe distinguir.
Hay otra categoría de problemas que es diferente de las dos categorías anteriores: la suma de los perturbativa de expansiones para todos los pedidos. Se puede demostrar que, en casi todos los campos de las teorías - y perturbativa de la cadena de teorías - la perturbativa de expansiones divergen. Para un pequeño acoplamiento, uno puede sumarlos a la menor plazo, antes de que el factorial-como coeficiente comienza a aumentar las condiciones de nuevo, a pesar de la $g^{2L}$ de supresión. El más mínimo plazo es del mismo orden que el líder de la no-perturbativa de contribuciones.
Al final, si la teoría puede ser no-perturbativa bien definido - y ambos QCD-como de las teorías y de la teoría de cuerdas puede, al menos en principio - el pleno de la función como una función de la constante de acoplamiento $g$ existe. Pero no se puede ser totalmente obtenidos a partir de la expansión perturbativa. El Renormalization Grupo, realmente no ayudan porque sólo mezcla la perturbativa términos de otro orden a un perturbativa de diagrama que desea calcular. Si usted no sabe la no-perturbativa de la física, las ecuaciones de la Renormalization Grupo de no llenar el vacío porque se le mantendrá en el perturbativa reino.
Así que he esbozado tres cosas diferentes: en los Hardy/zeta problemas, la respuesta a la divergencia de la serie fue el único; en particular, $L$- diagramas de lazos en QFT, no era el único, pero la infinita parte se resta y la parte finita se obtuvo mediante una comparación con los experimentos; y en la expansión perturbativa resummed para todos los pedidos, la suma de hecho no convergen y, de hecho, no sabía acerca de toda la información sobre la gran resultado para un finito $g$.
La última declaración puede haber algunas sutilezas; al menos para algunas teorías, la no-perturbativa de la física está totalmente determinado por el perturbativa de la física. Pero creo que no es muy general, y tenemos ejemplos en contra - por ejemplo, para AdS/CFT con ortogonal grupos y diferentes valores discretos de $B$ etc. Lo que significa que la expansión perturbativa no únicamente determinan la teoría de la no-perturbativa.
Debido a que los tres ejemplos que difieren en el nivel de "lo que puede ser calculado" y "lo que no", son diferentes.
