Dado$(A-I)^2 = 0$, podemos decir det$(A)=1$ y tr$(A)=n$?

Question

Dado$(A-I)^2 = 0$, podemos decir det$(A)=1$ y tr$(A)=n$?

Primero mostré cuando$A$ es dos por dos, esto es cierto. Desde$\lambda_1 + \lambda_2 = 2$ y$\lambda_1 \lambda_2=1$, entonces desde la sustitución$\lambda_1 = \frac{1}{\lambda_2}$, esto da$(\lambda_2-1)^2 = 1$, y por lo tanto$\lambda_1 = \lambda_2 = 1$.

Intenté el caso cuando$A$ es$3\times 3$ fijando primero el tercer autovalor y resolviendo los otros dos, y también funcionó. ¿Cómo podría abordar este problema cuando$A$ es$n\times n$.

Answer 1

Sea$\lambda$ un valor propio (en los números complejos) de$A$; entonces$Av=\lambda v$ para algunos$v\ne0$ in$\mathbb{C}^n$; Por lo tanto, $$ (AI) v = (\ lambda-1) v $$ y $$ 0 = (AI) ^ 2v = (AI) (\ lambda-1) v = (\ lambda-1) $(\lambda-1)^2=0$ y entonces $\lambda=1$. Así$A$ tiene sólo el autovalor$1$, con multiplicidad algebraica$n$.

El determinante de$A$ es el producto de los valores propios y la traza de su suma (contados con su multiplicidad).

Answer 2

$(t-1)^2=0$ es un polinomio aniquilador que sugiere dos posibilidades del polinomio mínimo, es decir,$(t-1)=0$ o$(t-1)^2=0$. En cualquier caso, el único autovalor es$1$. Ahora, trace (A)$=\sum_{i=0}^{n}t_i$