¿Cómo pensar en los ceros de la derivada de una función holomorfa?

Question

Si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es diferenciable, entonces, por ejemplo, si $f'(x_0)=0$ y $f'$ es de nuevo diferenciable en $x_0$ y $f''(x_0)\neq 0$ entonces $f$ tiene un máximo o un mínimo en $x_0$ .

Pero si $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ es holomorfo, ¿cómo puedo pensar en los ceros de $f'$ ? ¿Qué me dice si $f'(z_0)=0$ y $f''(z_0) \neq 0$ ? Por ejemplo, ¿es cierto que $|f(z_0)|$ es un máximo o un mínimo local de $|f|$ ?

Answer 1

No. Te dice que localmente (en una bola alrededor de $z_0$ ) la función $f$ se parece a $f(z_0) + c(z-z_0)^2$ , por lo que se envuelve dos veces alrededor de una bola centrada en $f(z_0)$ . Cosas más $\Bbb R$ es muy particular por el hecho de que los cuadrados de los números reales son no negativos. :)

Answer 2

Felix Klein publicó un pequeño libro en 1893, titulado Sobre la teoría de Riemann de las funciones algebraicas y sus integrales (disponible de forma gratuita en la URL enlazada). Este libro contiene una maravillosa interpretación geométrico-física de los ceros y polos de las funciones meromorfas.

Klein interpreta las curvas de nivel de la parte real de una función meromorfa como la stream-lines de un campo eléctrico, e interpreta las curvas de nivel de la parte imaginaria (que son ortogonales a las de la parte real, por Cauchy-Riemann) como las líneas de potencial constante . Los ceros se interpretan entonces como fuentes o cargas puntuales; los polos se interpretan como fregaderos (o quizás al revés - hace tiempo que no leo el libro. En cualquier caso, no importa demasiado). Los residuos reflejan la fuerza de la fuente o el sumidero correspondiente. Muchos teoremas de la teoría de las funciones complejas adquieren entonces un significado muy bonito y concreto. Por ejemplo, el hecho de que los residuos de una función meromorfa en una superficie compacta de Riemann sumen $0$ se convierte en una manifestación del principio de conservación de la carga, o un análogo de la conservación de las corrientes, Ley del circuito de Kirchoff .

El libro, aunque tiene más de un siglo de antigüedad, ha envejecido muy bien, y merece la pena echarle un vistazo aunque sólo sea por sus hermosas ilustraciones: