Cálculo del radical de un ideal

Question

¿Cuál es la mejor manera de calcular $\sqrt{(X^2-YZ,X(1-Z))}$ ?

Esto es después de usar Nullstellensatz por cierto, ya que pensé que sería más fácil de calcular un radical que encontrar el ideal de fuga.

Answer 1

En este caso no es necesario trabajar sobre un campo algebraicamente cerrado para obtener $$\sqrt{(X^2-YZ,X(1-Z))} = (X,Y) \cap (X,Z) \cap (Z-1,Y-X^2).$$

El radical de un ideal es la intersección del mínimo primos sobre ella.

Dejemos que $P$ sea un primo mínimo sobre $(X^2-YZ,X(1-Z))$ . Desde $X(1-Z)\in P$ hay dos casos a considerar:

1. Si $X\in P$ , entonces de $X^2-YZ\in P$ obtenemos $Y\in P$ o $Z\in P$ Así que $P=(X,Y)$ o $P=(X,Z)$ .

2. Si $1-Z\in P$ ya que $X^2-YZ=X^2+Y(1-Z)-Y\in P$ se deduce que $X^2-Y\in P$ Así que $P=(X^2-Y,1-Z)$ . (Bueno, ahora tenemos que saber que $(X^2-Y,1-Z)$ es un ideal primario, pero esto es fácil: $K[X,Y,Z]/(X^2-Y,1-Z)\simeq K[X,Y]/(Y-X^2)\simeq K[X]$ .)

Editar. Si el campo es algebraicamente cerrado creo que es más fácil encontrar el radical de un ideal (como intersección de primos) utilizando el Nullstellensatz.

Answer 2

Sólo hay que calcular $\mathcal I [\mathcal Z [ (X^2-YZ,X(1-Z))]]$ asumiendo que estás trabajando sobre un campo algebraicamente cerrado, observa que $$ x^2 - yz = 0 = x(1-z) \quad \Longleftrightarrow \quad x=y=0 \quad \text{ or } \quad x=z=0 \quad \text{ or } \quad y-x^2=0=z-1, $$ para que $$ \mathcal Z[(X^2-YZ,X(1-Z))] = \mathcal Z[ (x,y) ] \cup \mathcal Z[ (x,z) ] \cup \mathcal Z[ (z-1,y-x^2)]. $$ Tomando el ideal de ceros de esta unión se obtiene $$ \sqrt{(X^2-YZ,X(1-Z))} = (X,Y) \cap (X,Z) \cap (Z-1,Y-X^2) $$ (He utilizado el hecho de que los tres ideales son primos, por lo que son iguales a sus radicales; para verlo, calcula el anillo de cociente y observa que son dominios integrales).

Si tu pregunta tiene que ver con la búsqueda de generadores para esta intersección, pensaré en una pista más adelante si la pides.

Espero que eso ayude,