Sí.
Recordemos que la distribución de $X$ es el Borel probabilidad de medida $\mu_X$ definido en $L$ través $\mu_X(A) = P(X^{-1}(A))$. Es un ejercicio para demostrar que para cualquier medibles $f : L \to \mathbb{R}$,$\int_L f\,d\mu_X = \int_K f(X)\,dP$. (Esto es para $K,L$ mensurable de los espacios.)
Así que queremos saber si $\mu_X = \mu_Y$, y su hipótesis dice que el $\int f\,d\mu_X = \int f\,d\mu_Y$ todos los $f \in V$. Si $\mu_X, \mu_Y$ son medidas de Radón en $L$, entonces es ciertamente de la siguiente manera a partir de la representación de Riesz teorema que $\mu_X=\mu_Y$; son dos lineal continua y funcionales en $C_0(L)$ que está de acuerdo en un denso conjunto.
Siguiente Ejercicio 18 en estas notas de Terry Tao, podemos mostrar:
Si $X$ es continuo, $\mu_X$ es el Radón.
Esto le da una respuesta afirmativa a su pregunta.
Prueba. Primero mostramos $\mu_X$ es interior regular. Deje $E \subset L$ ser Borel y revisión $\epsilon > 0$. $X^{-1}(E)$ es Borel, y $P$ es el Radón, de modo que existe un compacto $F \subset X^{-1}(E)$$P(F) > P(X^{-1}(E)) - \epsilon$. Ahora $X(F)$ es un subconjunto compacto de $E$, y tenemos $X^{-1}(X(F)) \supset F$. Por lo tanto $$\mu_X(X(F)) = P(X^{-1}(X(F))) \ge P(F) > P(X^{-1}(E)) - \epsilon = \mu_X(E) - \epsilon$$ e interior de la regularidad está probado.
Como en t.b.'s comentario, en el exterior de la regularidad de la siguiente manera desde el interior de la regularidad de tomar complementos.
Nota: no utilice la asunción de $\sigma$-compacidad que se asume en el Tao de las notas, así que esto va a funcionar en cualquier LCH espacio.
Permítanme mencionar también que otros topológico supuestos podrían hacer que sea más fácil. Si $L$ es polaco o incluso Suslin, entonces cada Borel medida de probabilidad en $L$ es automáticamente Radón, y no topológico supuestos en $K,X,Y$ son necesarios. (Esto está demostrado, por ejemplo, en Bogachev, la Teoría de la Medida.)
