¿Cómo construir una matriz$2\times 2$ real$A$ no igual a Identidad tal que$A^3=I$?

Question

Cómo construir una matriz$2\times 2$ real A no es igual a Identidad tal que$A^3$ = I?

Hay una correspondencia entre el anillo de números complejos y el anillo de$2\times2$ matrices (0 matriz está incluido!) Es decir,$$a+ib\leftrightarrow\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ $

¿Puedo aplicar este resultado y construir tal matriz?

Answer 1

Encuentra las tres raíces de cubo de$1$. Sea$a+bi$ uno de esos. Son soluciones de$x^3=1$. Por lo tanto$x^3-1=0$.

Dado que$1$ es una de las soluciones,$x-1$ debe ser uno de los factores, por lo tanto: $$ x ^ 3-1 = (x-1) (\ cdots \ cdots \ cdots). $$ Llene los espacios en blanco haciendo división larga. Usted debe obtener $$ (x-1) (x ^ 2 x 1). $$ Así que la ecuación es $$ (x-1) (x ^ 2 x 1) = 0. $$ Esto implica $$ x-1 = 0 \ quad \ text {o} \ quad x ^ 2 x 1 = 0. $$ Resuelve la ecuación cuadrática.

Answer 2

Tenga en cuenta que también hay$2\times2$ matrices que no son de la forma indicada en la pregunta que resuelven el problema que$A^3=I$. La solución general a su problema es ($\alpha,\beta \in \mathbb{R}, \beta\neq 0$) $$ A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\beta^{-1}(1+\alpha+\alpha^2) & -(1+\alpha)\end {pmatrix}. $$

Los ejemplos específicos que corresponden a números complejos$a+ib$ necesitan cumplir$$\alpha = -(1+\alpha) \quad \text{and} \quad\beta = \beta^{-1}(1+\alpha+\alpha^2)$ $ con las soluciones$\alpha=-1/2$,$\beta=\pm\sqrt{3}/2$ (correspondiente a la rotación por$\pm 2\pi/3$).

Answer 3

La matriz$A=\begin{pmatrix} 0&1\\-c&-b\end{pmatrix}$ satisface$A^2+bA+cI=0$.

Así que la matriz$\begin{pmatrix} 0&1\\-1&-1\end{pmatrix}$ satisface$A^3-I=(A-I)(A^2+A+I)=0$