¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial no lineal?

Question

Estoy intentando resolver la ecuación$$y' = 1 - y^2$ $ Aquí está mi intento:$$y' = 1 - y^2$ $ Divide por (1-y ^ 2)$$\frac{y'}{1-y^2} = 1$ $ Integre ambos lados:$$\frac{1}{2}\log|\frac{y+1}{y-1}|=t+c$ $ Reordenar$$y = \frac{ke^{2t}+1}{ke^{2t}-1}$ $ Habría pensado que la solución era correcta, pero tenemos que calcular una solución específica con y (0) = 0. Pero esto no es posible con la ecuación anterior.

Answer 1

La escribí y la resolvió de una manera ligeramente diferente. La primera cosa que usted debe notar es que $y = 1$ $y = -1$ son las dos constantes de soluciones, lo que le permite, a continuación, dividir $y'$$1-y^2$, ya que quieres estudiar por $y(0) \in (-1,1)$, a sabiendas de que cualquier solución de partida en $(-1,1)$ permanece allí, o muere en 1).

Entonces sí, con algo de álgebra consigues

$\left(\log \frac{1+y}{1-y}\right)' = 2$

si no he jodido con los signos; ahora la integración de 0 a $t$ consigue:

$\log \frac{1+y(t)}{1-y(t)} - \log \frac{1+y(0)}{1-y(0)} = 2t$

sin el valor absoluto, ya que todo en el argumento de los registros es no negativo. Mediante la imposición de $y(0) = 0$ el segundo término de la izquierda se desvanece y te dejan con una sencilla expresión que si invertida da lo siguiente:

$y(t) = \frac{e^{2t} - 1}{e^{2t} + 1}$

que es simplemente

$y(t) = \tanh (t)$

y, por supuesto, de doble comprobación $y(0) = 0$.

Answer 2

Reduciendo de lo que tienes un poco más, tenemos que igual a Tanh [xk].

Tanh [-k] == 0 // Seting x a cero

Por lo tanto k = 0, dejando Tanh [x] como su función.

Answer 3

Puesto que desea una solución cerca de$y=0$, debe usar$1-y$ en el denominador (ya que será positivo) y puede eliminar los signos de valor absoluto. Esto cambia algunos signos en su respuesta, dando$$y = \frac{ke^{2t}-1}{ke^{2t}+1}$$ and $ k = 1$ gives $ y (0) = 0 $