Inversión de Möbius y transformada de Fourier.

Question

¿Existe alguna relación entre el Fórmula de inversión de Möbius para posets y el teorema de inversión de la transformada de Fourier ?

Las dos fórmulas tienen una similitud conceptual en el sentido de que cada una dice que un operador de convolución es inverso a otro, que se parece al primero pero al que se le inyectan signos negativos. Las reflexiones de Rota sobre las funciones generadoras del análisis armónico sugieren que una relación como ésta existe en el folclore.

Answer 1

La teoría que rodea a las series de Dirichlet, las convoluciones de Dirichlet, las transformadas de Möbius y la inversión de Möbius puede considerarse como un análisis de Fourier en el semigrupo $\mathbb{N}$ los números naturales.

Los personajes de $\mathbb{N}$ están parametrizados por números complejos $s\in\mathbb{C}$ dado por $n\mapsto n^{-s}$ . Así, la transformada de Fourier se define por $$f=\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\mapsto \mathcal{F}(f):=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{a_n}{n^{s}}$$ que es la serie de Dirichlet. La convolución de Dirichlet es la convolución con respecto al semigrupo $\mathbb{N}$ : $(f*g)(n)=\sum_{ab=n}f(a)g(b)$ y satisface una propiedad típica del análisis de Fourier $$\mathcal{F}(f*g)=\mathcal{F}(f)\cdot\mathcal{F}(g).$$ La transformada de Möbius es $f\mapsto f*1$ y en el lado de Fourier, $\mathcal{F}(f)\mapsto \mathcal{F}(f)\cdot \mathcal{F}(1)$ , donde $\mathcal{F}(1)$ es la función zeta $\zeta(s)$ . Así, la inversión de Möbius viene dada en el lado de Fourier por $\mathcal{F}(g)\mapsto \mathcal{F}(g)\cdot\mathcal{F}(1)^{-1}=\mathcal{F}(g)\cdot\zeta(s)^{-1}$ y en el lado físico (es decir, en el lado de los números naturales), la inversión de Möbius viene dada por $g\mapsto g*\mathcal{F}^{-1}(\zeta(s)^{-1})=g*\mu$ donde $\mu$ es la función de Möbius.

Se ve que $\mu*1=\varepsilon$ , donde $\varepsilon(1)=1$ y $\varepsilon(n)=0$ para $n\neq 1$ . Y tenemos $f*\varepsilon=f$ . En particular, este $\varepsilon$ se asemeja a la función $\delta$ en el análisis de Fourier sobre $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{T}^n$ .