Si$x$ es un entero positivo tal que$x(x+1)(x+2)(x+3)+1=379^2$, find$x$

Question

Si$x$ es un entero positivo tal que$x(x+1)(x+2)(x+3)+1=379^2$, find$x$

Este es un problema de ARML de 1989. Una, fea manera de resolver esto es:

Aproxímale esto como$x^4=379^2$, así que$x\approx \sqrt{379}\approx 19$ y adivine y revise ahí para ver que$18$ funciona.

¿Qué es una manera más agradable?

Insinuación

Diferencia de cuadrados

Answer 1

Tenga en cuenta que

\begin{align*} x(x+1)(x+2)(x+3) &=379^2-1\\ &=(380)(378) \\ &=(19)(20)(18)(21). \end{align*}

Por lo tanto, se sigue que$x=18$.

Answer 2

contorno

$x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 = 379^{2}$

$(x - 18)(x + 21) = 0$

$\color{blue}{x = 18}$

Answer 3

Multiplique el primero y el último término y los términos medios y tome 1 en RHS. $(x^2+3x)(x^2+3x+2)=379^2-1^2$ así que substitute$x^2+3x=y$ obtendrá un cuadrático simple, es decir,$y(y+2)=380\times 378$ que son también los factores. Obtenga el valor de$y$ y luego resubstituyendo$y=x^2+3x$ obtendrá el valor de$x$ Espero que pueda tomarlo de aquí para encontrar$x$.

Answer 4

ps