No estoy seguro de estar correcto:$\|\sum_{n=1}^\infty x_n\| \leq \sum_{n=1}^\infty \|x_n\|$

Question

Yo era la solución de este Análisis Funcional del problema, pero no estoy seguro de que estoy en lo cierto en esto, el problema es:

Deje $\big(E,\|\bullet\|\big)$ ser una normativa espacio vectorial, y $(x_n)_n$ una secuencia en $E$ tal que $\sum_{n=1}^\infty x_n$ converge. Mostrar que $$\left\|\sum_{n=1}^\infty x_n\right\| \leq \sum_{n=1}^\infty\|x_n\|$$

Mi solución:

Sabemos que la siguiente desigualdad se cumple para cualquier $m\in\mathbb{N}$ (sólo usando la desigualdad triangular):

$$\left\|\sum_{n=1}^m x_n\right\| \leq \sum_{n=1}^m \|x_n\|$$

Puesto que el lado izquierdo converge, la desigualdad aún se mantiene en el límite $m\rightarrow\infty$, por lo tanto, tenemos el resultado.

Mis dudas:

La única cosa que no estoy totalmente seguro de que es mi última intervención, porque no puedo saber si el lado derecho converge, entonces, ¿cómo puedo comparar las dos cosas?

Pero luego he pensado que puede utilizar el siguiente argumento:

La secuencia de $\left(\sum_{n=1}^m \|x_n\|\right)_m$ es claramente una voz (no decreciente) real de la secuencia, así que si está delimitada converge y mi resultado es correcto, la otra opción es que la secuencia es ilimitado, en cuyo caso

$$\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|=\infty$$

Y entonces tiene sentido escribir:

$$\left\|\sum_{n=1}^\infty x_n\right\| < \infty$$

Alguien me puede decir si mi razonamiento es correcto? O si de otra manera sería mejor para resolver este problema?

Answer 1

Si$\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|=\infty$ entonces es verdad. Asumamos que$\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|<\infty$. Así que,$$ \left\|\sum_{n=1}^m x_n\right\| \leq \sum_{n=1}^m \|x_n\| \le \left\|\sum_{n=1}^m x_n\right\| \leq \sum_{n=1}^m \|x_n\|=l $ $ Puesto que, la norma es una función continua así que$$ \lim_{m\to \infty}\left\|\sum_{n=1}^m x_n\right\|=\left\|\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^m x_n\right\| =\left\|\sum_{n=1}^\infty x_n\right\| \le \lim_{m\to \infty} l=l $ $

Answer 2

Tienes toda la razón que el lado derecho no necesita convergen : un ejemplo sencillo en los reales es $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$ donde la serie converge, pero no absolutamente. Así que usted puede de hecho hacer la distinción entre el $+\infty$ y finito para la mano derecha de la serie. $+\infty$ no es problema de la desigualdad, y en el caso finito se sigue de la desigualdad de triángulo, como se dijo. O, simplemente, utilizar (en su primera versión) que en el extendido de reales $x_n \le y_n$, $x\to x, y\to y$ implica, también, $x \le y$ (esto se aplica en todos ordenó espacios topológicos, como $\{(p,q) \in X^2: p \le q \}$ es cerrado en $X^2$). La mano derecha de límite siempre existe por la monotonía (e integridad de $[-\infty, +\infty]$), lado izquierdo como $\sim_n x_n$ converge y $\|.\|$ es continua.

Answer 3

Usando la continuidad de$\|\cdot\|$, tenemos:$$\left\|\sum_{n=1}^\infty x_n\right\| = \left\|\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^mx_n\right\| = \lim_{m\to\infty}\left\|\sum_{n=1}^m x_n\right\| \leq \lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m \left\|x_n\right\| = \sum_{n=1}^\infty \left\|x_n\right\|$ $