¿Es $x^j+x^k+2$ irreducible cuando $j+k$ es impar?

Question

Deje $j,k$ ser enteros positivos con $j>k$ y considerar el polinomio

$$f(x)=x^j+x^k+2$$

Yo quiero probar la conjetura :

$f(x)$ es irreducible en a $\mathbb Q[x]$, siempre que $j+k$ es impar. Esto es cierto para $j\le 300$ como he comprobado con PARI/GP.

Si $f$ tiene raíces reales, que obviamente debe ser negativo y el valor absoluto de cualquier raíz debe ser menos de $2$$j>2$.

Por otra parte, $-1$ no puede ser una raíz, porque de $f(-1)=2$, lo $f(x)$ nunca puede tener un factor linear.

Podemos utilizar la cota de los valores absolutos de las raíces y que el coeficiente constante es el primer para mostrar que $f(x)$ debe ser irreductible en $\mathbb Q[x]$

Answer 1

Más mínima poco de progreso resolver el caso $j=k+1$.

Por la costumbre de negocios con Gauss Lema Es suficiente para mostrar que no existen polinomios de grado positivo $p(x),q(x)\in\Bbb{Z}[x]$ tal que $$p(x)q(x)=f(x)\tag{1}$$ Debido a $f(0)=2$ podemos, sin pérdida de generalidad, supongamos que $p(0)=\pm1$$q(0)=\pm2$. La reducción de la $(1)$ modulo dos nos da que $$ \overline{p}(x)\overline{q}(x)=x^j+x^k=x^k(x^{j-k}+1). $$ Nuestras suposiciones acerca de los términos constantes, a continuación, nos permiten deducir que $$ \begin{aligned} \overline{p}(x)&\mid x^{j-k}+1,\ \text{and}\\ x^k&\mid\overline{q}(x). \end{aligned} $$ En particular, se deduce que el $\deg p(x)\le j-k$.

El caso de $j=k+1$ pueden manejarse fácilmente. Hemos visto que el $p(x)$ es lineal, por lo $f(x)$ tiene un entero impar de la raíz. Las únicas alternativas son $x=\pm1$, y estos ya estaban excluidos.