Una forma rápida (y correcta) de encontrar un común divisor $1805$, $1991$, $2146$ para que tengan el mismo resto

Question

Una pregunta, dice:

"Que $n \in \Bbb N$ los números $1991$, $1805$, $2146$ se divide, de manera que no será la misma los restos de la izquierda?"

Las tengo ordenadas en orden: $1805,1991,2146.$, a Continuación, hizo la resta: $1991-1805=186,$ $2146-1991=155,$ a continuación, $186-155=31.$ Este último resultado es la respuesta. Pero yo soy escéptico acerca de mi manera de encontrar la respuesta (y que parece ser un poco extraño para mí), ya que no funciona en algunos casos. Me gustaría 1) para conocer sus pensamientos sobre mi método, 2) proporcionar algunos consejos con el fin de mostrar la manera correcta de resolver esto.

Answer 1

Si los restos de $1991$ y $1805$ son lo mismo, entonces estos números son congruente mod $n$, por lo que divide a $n$ $1991-1805=186$. Del mismo modo, $n$ debe dividir $2146-1991=155$. Por lo que necesita un número que se divide el $186$ y $155$, por lo que dividirá su diferencia: $186-155=31$. $31$ Primer sus solamente divisores están $31$ $1$ y técnicamente la respuesta es ambas.

Por lo que su método es válido. Y muy rápido, así que no espero nada más rápido.

Answer 2

Dado tres números $a,b,c$ está buscando $\gcd (b-a,c-b,c-a)$. Su enfoque es un buen paso y la respuesta es garantizada para dividir $b-a$ y $c-b$. Han hecho un paso en el método de Euler, pero la respuesta podría ser más pequeño. Por ejemplo, sea los números $1,19,33$. Hacer $19-1=18, 33-19=14, 18-14=4$ pero no se hacen como el $\gcd$ $2$. Usted ahora puede seguir adelante con $14-3 \cdot 4=2$ y listo porque divide a $2$ $18$ y $14$.