Cómo tomar la integral primera de una segunda ecuación diferencial de orden

Question

¿Cómo debo tomar la primera integral de $\ddot \theta = a \sin\theta$?

¡Se agradecería ayuda!

Answer 1

De cómo ' combate, a partir de

$\ddot \theta = a \sin \theta, \tag 1$

multiplicamos por $\dot \theta$:

$\dot \theta \ddot \theta = (a\sin \theta) \dot \theta; \tag 2$

observamos que

$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2} (\dot \theta)^2) = \dot \theta \ddot \theta, \tag 3$

y

$\dfrac{d}{dt}(-a\cos \theta) = (a \sin \theta) \dot \theta; \tag 4$

podemos sustituir (3) y (4) en (2):

$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2} (\dot \theta)^2) = \dfrac{d}{dt}(-a\cos \theta), \tag 5$

o

$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2} (\dot \theta)^2 + a \cos \theta) = 0; \tag 6$

de esto se infiere

$\dfrac{1}{2} (\dot \theta)^2 + a \cos \theta = E, \tag 7$

un constante y primera integral de (1).

Answer 2

No $\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=a\sin \theta$ $$\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\dfrac{d\theta}{dt}=a\sin \theta\dfrac{d\theta}{dt}$ % $ $$2\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\dfrac{d\theta}{dt}dt=2a\sin \theta\dfrac{d\theta}{dt}dt$$ $$\Big[\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\Big]'dt=2a\sin \theta d\theta$ $ con integración tenemos $$\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2=-2a\cos\theta+C$ $