¿Cómo definir la función exponencial sin cálculo?

Question

Para la diversión, me gustaría definir la compleja función exponencial a partir de estas dos propiedades:

• $\exp(0) = 1$
• $\exp(z + w) = \exp(z) \exp(w)$

Desde aquí, me gustaría encontrar una manera para calcular los valores de $\exp(z)$, o, al menos, para calcular los $\exp(1)$.

Hasta ahora, sólo he encontrado dos maneras:

1. Tomando nota de que $\exp'(z) = \exp(z)$ y la solución de la ecuación diferencial, lo que conduce a $\int \frac{\exp'(z)}{\exp(z)} dz = \log(\exp(z)) + C = z$.

2. Tomando nota de que $\exp'(z) = \exp(z)$, calculando sus series de Taylor y de comprobar que lo que se obtiene es una función completa.

El primer enfoque es simplemente un error, porque implica logaritmos, los que no han definido aún. El segundo enfoque se ve mucho mejor. Yo no lo he probado, pero supongo que puedo encontrar una manera de manipular la serie de Taylor para obtener el límite de la definición de $e$ y a la conclusión de que $\exp(1) = e$, que es mi objetivo.

Sin embargo, yo estoy luchando para encontrar otro camino que no implique la diferenciación o límites en general. Yo sería feliz de encontrar una manera de decir $\exp(1) = e$ sin cálculo. Creo que la naturaleza irracional de $e$ me obliga a usar límites -- estoy en lo cierto?

Answer 1

No podrá derivar

$exp(1)=e$

de su definición, desde sus trabajos de definición de la función exponencial para cualquier base $b$:

$b^0=1$

y

$b^{x+z}=b^x\cdot b^z$

¡son verdaderas para cualquier $b$!

Answer 2

Como Bram28 alude, su definición es invariante bajo la multiplicación escalar. Es decir, si $u=cx$ algunos $c$, tanto de sus condiciones de trabajo, así como para $u$$x$. Por ejemplo, $f(2(x+y)) = f(x+y)f(x+y) = f(x)f(y)f(x)f(y)$. Y $f(2x)f(2y) = f(x)f(x)f(y)f(y)$. So if $f(x+y) = f(x)f(y)$, then $f(2(x+y)) = f(2x)f(2y)$. There is therefore no way to distinguish between non-zero numbers. If you have an argument for why $f(1) = e$, I can just multiply everything by two and everything will work the same as before, and I'll end up for an argument for why $f(2) = e$.

Usted tiene que tomar el $f(1)$ como una constante, y luego encontrar a $f(x)$ en términos de la constante. A continuación,$f(n+1) = f(n)f(1)$, por lo que la inducción por $f(n) = f(1)^n$ natural de número de $n$, y un argumento similar se presenta números enteros negativos. Luego puede argumentar que $f(1) = f(.5+.5)=f(.5)f(.5)$, lo $f(.5) =\sqrt{f(1)}$ (asumiendo $f(1)$ es positivo). Entonces, no es demasiado difícil conseguir $f(x)$ definida para cualquier número racional. Para los números irracionales, sin embargo, usted tiene que asumir la $f(x)$ es continua.

Answer 3

ps

Answer 4

Usted no puede realmente hacerlo "sin cálculo". Sin embargo, usted puede conseguir cerrar con un poco de la heurística de trabajo.

Definir $e^x$ por sus dos propiedades, junto con la propiedad de que $e^x \approx 1+x$ para valores pequeños de a $x$. Hacer este preciso consiste en el Cálculo, pero no estoy seguro de cuánta precisión que usted necesita.

En cualquier caso, de esto se puede obtener

$e^1 = (e^{0.0001})^{10000} \approx (1+0.0001)^{10000} \approx 2.71814592682$

Puede calcular otros valores de la función, así como la

$e^\pi \approx e^{3.1415} = (e^{0.0001})^{31415} \approx (1+0.0001)^{31415} \approx 23.13$

Encontrar los valores precisos utilizando esta idea implica un límite.

Answer 5

No estoy seguro de cuán útil es este, pero se puede comparar la situación con $\pi$.

Hay un geométrica "definición" de $\pi$ que se basa en las ideas intuitivas de el diámetro y la circunferencia de un círculo.
En realidad de "cálculo" $\pi$ requiere de un método de aproximaciones sucesivas.

Si estamos dispuestos a aceptar una idea intuitiva de la (dirigida) área entre la gráfica de la inversa de la función y el eje horizontal "de" $1$$r$, entonces se puede dar un geométrica "definición" de la real función exponencial.
$\exp{x}$ será el valor de $r$ necesario para obtener un área de $x$.
En realidad de "cálculo" de los valores de esta función requerirá un método de aproximaciones sucesivas.