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Question

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2+2^2}+\frac{1}{1^2+2^2+3^2}+\dots\to~?$ $ probé como abajo $$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2+2^2}+\frac{1}{1^2+2^2+3^2}+\dots=\\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1^2+2^2+3^2+\dots+n^2}=\\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\frac{n(n+1)(2n+1)} {6}} = \\\sum_ {n = 1} ^ {\infty} \ frac{6}{n(n+1)(2n+1)} = \\ $$ entonces puedo usar la fracción, pero $$\frac{1}{n(n+1)(2n+1)}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{-4}{2n+1}$ $ esto es feo hacer series telescópicas. ¿Me puedes ayudar a encontrar: series convergen para?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tratando de evitar el planteamiento de Daniel Fischer.

$$\frac2{(2n)(2n+1)(2n+2)}=\frac1{(2n)(2n+1)}-\frac1{(2n+1)(2n+2)}$$

Recoger los términos de sus signos:

$$S=12\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n(n+1)}$$

Ahora aplicar fracciones parciales en este muy bien y se convierte en

$$S=12\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}n+\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}$$

Entonces puede recoger los términos otra vez para obtener

$$S=6+12\sum_{n=3}^\infty\frac{(-1)^n}n$$

Sobre el cual se puede utilizar la expansión de Maclaurin de $\ln(x+1)$.

Answer 2

A partir de $$S=6 \sum _{n=1}^{\infty } \left(\frac{1}{n+1}-\frac{4}{2 n+1}+\frac{1}{n}\right)$ $ cambié el índice $n\to n+1$ $$S=6 \sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{n+2}-\frac{2}{n+\frac{3}{2}}+\frac{1}{n+1}\right)$ $Then solicité una increíble propiedad de función digamma que puede ser encontrada aquí y tiene

$$S=6 \left(-\psi (1)-\psi (2)+2 \psi \left(\frac{3}{2}\right)\right)$ $ que da ($\gamma $ es constante de Euler-Mascheroni) $$S=6 \left(2 \gamma -1+2 \psi \left(\frac{3}{2}\right)\right)=6 (3-2 \log 4)$ $

Answer 3

Al publicarlo, me parece una idea... $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(2n+1)} = \\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6\times 2 \times 2}{(2n)(2n+2)(2n+1)} = \\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{24}{(2n)(2n+2)(2n+1)} = \\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{24}{1} (\frac {1} {() 2N)(2n+1)(2N+2)}) = \\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{24}{2}(\frac{1}{(2n)(2n+1)}-\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}) = \\ 12\times \frac{1}{2\times 3} = 2$$ but wolfram says $% $ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}=6(3 - 4log(2))$¿existe algo había perdido?