Elementos en $\hat{\mathbb{Z}}$ la terminación profinita de los números enteros

Question

Sea $\hat{\mathbb{Z}}$ sea la terminación profinita de $\mathbb{Z}$ . Desde $\hat{\mathbb{Z}}$ es el límite inverso de los anillos $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un subgrupo de $\prod_n \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Así, podemos representar elementos en $\hat{\mathbb{Z}}$ como subconjunto de todas las tuplas posibles $(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,...)$ donde cada $k_n$ es un elemento de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . El subconjunto preciso de tales tuplas que corresponde a $\hat{\mathbb{Z}}$ viene dada por la definición habitual del límite inverso.

Existe un homomorfismo inyectivo canónico $\eta: \mathbb{Z} \to \hat{\mathbb{Z}}$ tal que para cada $z \in \mathbb{Z}$ corresponde a la tupla $\text{(z mod 1, z mod 2, z mod 3, ...)}$ . Sin embargo, es bien sabido que este homomorfismo no es suryectivo, lo que significa que existen elementos en $\hat{\mathbb{Z}}$ que no corresponden a nada en $\mathbb{Z}$ .

¿Alguien sabe cómo construir explícitamente un ejemplo de un elemento de este tipo en $\hat{\mathbb{Z}}$ que no está en la imagen del homomorfismo $\eta$ y representarlo como una tupla tal y como se ha descrito anteriormente?

Answer 1

El Teorema Chino del Resto dice que si $n=\prod_pp^{e(p)}$ donde el producto se toma sobre un número finito de primos, y cada $p$ aparece al poder $e(p)$ en $n$ Entonces $\mathbb Z/n\mathbb Z$ es isomorfo a $\bigoplus(\mathbb Z/p^{e(p)}\mathbb Z)$ . Esta suma directa es también producto directo, y cuando se toma el límite proyectivo, todo a la vista se alinea correctamente, y se obtiene este maravilloso resultado: $$ \projlim_n\>\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\prod_p\left(\projlim_m\mathbb Z/p^m\mathbb Z\right)\cong\prod_p\mathbb Z_p\>. $$ Así, sostener y admirar un no $\mathbb Z$ elemento de $\hat{\mathbb Z}$ Todo lo que necesitas es una vieja colección de $p$ -enteros radicales.

Dado el isomorfismo $\hat{\mathbb Z}\cong\prod_p\mathbb Z_p$ porque las operaciones de suma y multiplicación van en el sentido de las componentes, $\hat{\mathbb Z}$ debe tener muchos divisores cero. Por ejemplo, si $e_2 := (1,0,0,...)\ne 0$ con el $1$ en $\mathbb Z_2$ y $e_3 := (0,1,0,...) \ne 0$ con el $1$ en $\mathbb Z_3$ entonces $e_2\cdot e_3 = (1\cdot 0,0\cdot 1,0\cdot 0,...)=0\in \mathbb Z$ . Por supuesto, $e_2$ y $e_3$ no pueden ser miembros de $\mathbb Z$ porque esta última no contiene divisores nulos (y ambas no pueden ser "finitas").

@Mike Battaglia: A tu pregunta del 12 Dic '12 a las 7:30, me parece que se mezclan dos isomorfismos: primero el isomorfismo $\hat{\mathbb Z}\cong\prod_{p\in\mathbb P}\mathbb Z_p$ donde se pueden elegir libremente números 2-ádicos, 3-ádicos, etc. y construir un número entero profinito que sea congruente con todos estos componentes libremente elegidos, y en segundo lugar la inclusión $\hat{\mathbb Z}\subset\prod_{n\in\mathbb N}\mathbb Z/n\mathbb Z$ , donde además tienes que observar el condiciones de compatibilidad como usted los menciona: $\mathbb Z/6\mathbb Z\to \mathbb Z/2\mathbb Z$ . - Herbert Eberle

Answer 2

Se puede pensar en una presentación de un elemento de $\hat{\mathbb{Z}}$ por una tupla $(a_1,a_2,a_2,\dots)$ como descripción de los residuos de un entero "ideal" mod $1, 2, 3, \dots$

Si está buscando $\prod_n \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ que es el límite del diagrama formado por los anillos $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sin mapas de conexión, se le permite elegir $a_1, a_2, a_3,\dots$ de forma totalmente arbitraria.

Pero el diagrama del que $\hat{\mathbb{Z}}$ es el límite que impone restricciones, y estas restricciones son exactamente las implicaciones finitas entre residuos que existen en $\mathbb{Z}$ es decir, si $x\equiv 4$ (mod 6), entonces $x\equiv 1$ (mod 3).

Por el Teorema del Resto Chino, el residuo de un número entero mod $a$ está totalmente determinada (según estas restricciones) por sus residuos mod $p_1^{r_1}, \dots, p_k^{r_k}$ donde éstas son las potencias primos que aparecen en $a$ .

Por lo tanto, todo lo que hay que hacer para determinar explícitamente un elemento de $\hat{\mathbb{Z}}$ es dar una elección coherente de residuos mod todas las potencias primos. A continuación, para cada otro número entero, calcular lo que el residuo debe ser. Es fácil hacer esto de manera que no sea satisfecho por ningún elemento de $\mathbb{Z}$ .

Ejemplo: Hagamos que nuestro elemento sea divisible por todas las potencias de primos Impares, pero démosle residuo $1$ módulo de todas las potencias de $2$ . Entonces empieza

$(0,1,0,1,0,3,0,1,0,5,0,9,\dots)$

Answer 3

Puede ser más conveniente simplificar el límite para que sea una cadena lineal de mapas cociente, como por ejemplo

$$ \cdots \to \mathbb{Z} / 5! \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / 4! \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / 3! \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / 2! \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / 1! \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / 0! \mathbb{Z}$$

por lo que basta con representar un elemento de $\hat{\mathbb{Z}}$ por una secuencia de residuos modulo $n!$ tal que $$s_{n+1} \equiv s_{n} \pmod{n!}$$ En esta representación, un elemento fácil de construir no contenido en $\mathbb{Z}$ es la secuencia $$s_n = \sum_{i=0}^{n-1} i! $$ Puede ser interesante pensar en esto como la suma infinita $$s = \sum_{i=0}^{+\infty} i!$$ que también tiene sentido en la representación que utilizas, ya que es una suma finita en todos los lugares.

Supongo que los elementos de $\hat{\mathbb{Z}}$ deben estar en correspondencia uno a uno con los numerales infinitos a la izquierda en el sistema numérico factorial