Pregunta sobre el teorema de Hahn-Banach

Question

Que $(X,\|\cdot\|_1)$ y $(Y,\|\cdot\|_2)$ ser espacios normados y $X\subset Y$. Si cada $f\in (X,\|\cdot\|_1)^\ast$ se extiende a un acotado lineal funcional en $(Y,\|\cdot\|_2)^\ast$ con la misma norma, luego $(X,\|\cdot\|_1)$ es un subespacio de $(Y,\|\cdot\|_2)$, es decir, para todos los $x\in X$, $\|x\|_1=\|x\|_2$ %.

Sólo probé que $\|x\|_1\leq\|x\|_2$ % todos $x\in X$. Estoy en una condición difícil para probar $\|x\|_1\geq\|x\|_2$ % todos $x\in X$.

Muchas gracias.

Answer 1

Hay un contraejemplo: que $Y=(R^2,\|\cdot\|_2)$ y $X=(R,\frac{1}{2}|\cdot|)$. Para cada lineal funcional $f=\langle a,\cdot\rangle$ $X$, hay una extensión $g=\langle a,\sqrt{3}a \rangle$ $Y$ y $\|f\|=\|g\|$.