¿Manera elemental Mostrar $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$?

Question

Que $a_n \gt 0$ $n \in \mathbb{N}$. El radio de convergencia de la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ es $\frac{1}{q}$ $q = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}$ o $q = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$, si existen estos límites. Por lo tanto el $\lim$s debe ser idéntico.

¿Sin embargo me preguntaba si existe una forma más elemental para demostrar esta identidad? (O generalmente otra manera?)

Answer 1

El general la relación es $$ \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{\mathstrut a_n} \le \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\mathstrut a_n} \le \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \quad \text{(*)} $$ a condición de que todos los $a_n$ son positivos. De ello se sigue que si $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ existe $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\mathstrut a_n}$ existe y son iguales.

Para demostrar el extremo derecho de la desigualdad, definir $S := \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Para cada $\epsilon > 0$ no es un porcentaje ($N \in \mathbb N$ tal que $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} < S + \epsilon \quad \text{ para } n \ge N \, . $$ $$ \implica a_n < a_N \, (S + \epsilon)^{n - N} \quad \text{ para } n \ge N $$ $$ \implica \sqrt[n]{\mathstrut a_n} < (S + \epsilon) \sqrt[n]{ a_N (S + \epsilon)^{-N}} $$ $$ \implica \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\mathstrut a_n} \le S + \epsilon \, . $$

A la izquierda de la desigualdad puede ser probado de la misma manera, o por tomar los recíprocos.

Que el radio de convergencia $R$ de potencia de la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ puede ser determina con la raíz de la pruebao con la prueba de razón de es una consecuencia de la anterior relación (*), no la otra manera alrededor.

Pero tenga en cuenta que las pruebas son levemente diferentes: $$ \frac 1R = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\mathstrut |a_n|} $$ se mantiene incluso si el límite no existe.
$$ \frac 1R = \lim_{n \to \infty} \bigl| \frac{a_{n+1}}{a_n} \bigr| $$ sólo es válido si el límite en el lado derecho existe. Usted no puede generalmente reemplazar el $\lim$ $\limsup$ en la prueba de razón.