¿Cómo se relaciona el rizo con la rotación?

Question

La operación significa matemáticamente $$(\nabla \times \vec A)\cdot\hat n = \lim_{\Delta S\to\ 0} \frac{\oint\vec A\cdot\ d\vec l }{\left | \Delta S \right |}$$ y la prueba de ello es bastante lógica.
En los libros de texto, he encontrado que se relacionan rizo a la rotación .
Pero, ¿cómo muestra esta relación el tratamiento matemático anterior?

Cualquier ayuda matemática es bienvenida.

Answer 1

Dejemos que $\bf{C}$ sea un campo vectorial cualquiera. Sea una curva cerrada $\Gamma$ . Tomemos la integral de línea de $\bf C$ alrededor de este bucle completo, es decir, tomar la componente tangencial del campo en cualquier punto de la curva y tomar el producto punto de $\mathbf{C}_\text{tangential}\cdot d\mathbf{s}$ y se integran en todo el bucle. Esta es la circulación : $$\text{Circulation}_{\Gamma}=\int_{\Gamma} \mathbf{ C} \cdot d\mathbf{s}.$$

Ahora haz particiones en $C$ con un puente intermedio, digamos $B$ esto entonces hará dos bucles a saber; $\Gamma_1 \;\&\; \Gamma_2.$ Ahora, la circulación sobre todo el bucle es simplemente la integral de línea alrededor de cada sub-bucle que es, $$\text{Circulation}_{\Gamma} \\= \text{Circulation}_{\Gamma_1} + \text{Circulation}_{\Gamma_2}\\= (\text{Circulation}_{\Gamma_a} + \text{Circulation}_{\Gamma_{ab}}) + (\text{Circulation}_{\Gamma_b} -\text{Circulation}_{\Gamma_{ab}})\\ =\text{Circulation}_{\Gamma_{a}} + \text{Circulation}_{\Gamma_{b}}.$$

Divida en bucles aún más pequeños como $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3 \ldots \Gamma_N.$

Circulación por todo el bucle $$\int_{\Gamma} \mathbf{C}\cdot d\mathbf{s}= \sum_{i=1}^N\int_{\Gamma_i} \mathbf{C}\cdot d\mathbf{s}_i.$$

Ahora queremos obtener la característica de circulación infinitesimal a una determinada coordenada. Entonces hacemos $N\to \infty;$ sin embargo cada integral que es $\int_{\Gamma_i} \mathbf{C}\cdot d\mathbf{s}_i \to 0$ como $N\to \infty.$ Así, para obtener la característica finita que está asociada a la circulación localmente a un punto, dividimos cada integral por el área encerrada por cada sub-bucle. Es decir, tomamos la relación entre la circulación y el área del bucle $$\frac{\text{Circulation}_{\Gamma_i}}{a_i}.$$ Esta es nuestra propiedad local, es decir, la circulación infinitesimal del campo vectorial en un punto determinado (alrededor de él) viene dada por $$\lim_{a_i\to 0} \frac{\int_{\Gamma_i} \mathbf{C}\cdot d\mathbf{s}_i}{a_i}.$$

Answer 2

En primer lugar, un pequeño descargo de responsabilidad ya que la rotación puede no ser una rotación en el mismo sentido que pretende el autor de la pregunta, pero de todos modos. Por favor, díganme si he entendido mal la pregunta y puedo eliminarla.

Una rotación $\phi$ radianes puede describirse como $\left[\begin{array}{rr} a&-b\\b&a\end{array}\right], {a = \cos(\phi), b = \sin(\phi)}$ y una rotación infinitesimal en el análisis vectorial es $$\nabla \times {\bf v} = \frac{\partial {\bf v}_x}{\partial y} - \frac{\partial {\bf v}_y}{\partial x}$$ Entonces, ¿cómo se relacionan entre sí, o más interesante, cómo se $\phi$ se relacionan con el producto cruzado anterior.

Una cosa interesante es que el operador matricial anterior es, de hecho, como el vector cambia no cómo se mueve es decir, la parte aditiva. Para obtener la parte aditiva, tenemos que tomar I menos el vector girado es decir, el vector de cambio.

Necesitamos algunos filtros discretos para medir la rotación, y aquí hay algunos básicos tradicionales Sobel filtros. Se trata de filtros lineales que se aplican sobre una discretización de una función, normalmente sobre una malla cartesiana regular. En términos matemáticos, realizamos una discretización convolución con los filtros

$$D_x = \left[\begin{array}{rr} 1&0&-1\\2&0&-2\\1&0&-1\end{array}\right] \hspace{1cm} D_y = \left[\begin{array}{rrr} 1&2&1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{array}\right]$$

Esta convolución se define como $$F(i,j) = \sum_{k,l \in \{0,1,2,3\}} I(i+k,j+l)D_x(3-k,3-l)$$ y produce el respuesta del filtro $F$ . Puede leer más sobre filtrado lineal (convolución discreta) y Filtros Sobel en particular.

Campo de vectores de desplazamiento local. Cada vector apunta desde el centro con la diferencia de coordenadas.

Después de aplicar la rotación descrita anteriormente para $\phi = \frac{\pi}{2}$ . Cada vector contiene su propio desplazamiento en comparación con antes de la rotación.

Aplicación de los filtros de rizado según la fórmula de rizado y ajuste a un $sin$ La curva muestra que podemos hacer curl en un campo de rotación adecuado y estimar phi., la escala 16 (sin máximo) se puede ajustar normalizando los filtros discretos en consecuencia.