No conozco la respuesta "oficial" pero esto es lo que podría intentar. Espero que otros contribuyan a que esta sea una "buena" respuesta.
En primer lugar - no se nos dijo si la longitud de onda del láser es transmitida en absoluto por la lámina azul; pero como la lámina azul suele absorber la luz roja, y la mayoría de los punteros láser son rojos (yo tengo uno azul pero son ¡caro! ) Asumiré que no tenemos transmisión.
Eso significa que tenemos que determinar la respuesta con la reflexión. El ángulo de Brewster puede venir a nuestro rescate aquí. Dado que un rayo láser está polarizado, hay un cierto ángulo para el que no vemos reflexión desde una superficie cuando la polarización está en el plano que contiene la normal a la superficie y la trayectoria del rayo. Debería ser bastante fácil colocar el puntero láser en el ángulo de Bragg (basta con mirar el punto reflejado y jugar tanto con el ángulo de incidencia, como con la rotación del puntero láser). Utilice la regla para determinar el ángulo (supongo que se le permite una calculadora para este ejercicio - o tablas trigonométricas, o una buena regla de cálculo. Esto no se ha especificado. Si no, un poco de papiroflexia en el papel cuadriculado te permitirá obtener un buen goniómetro...)
Esto nos dará un dato: desde que el ángulo de Brewster $\theta_B$ en la interfaz de materiales con índice de refracción $n_1$ que va a $n_2$ viene dada por
$$\theta_B = \tan^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$
el índice de refracción $n_2$ del vidrio deslizante viene dado por
$$n_g = \tan\theta_B$$
Ahora viene la parte complicada: queremos tratar de encontrar el punto de extinción parcial de la segunda reflexión, la que se produce en la interfaz entre el vidrio y la lámina.
![enter image description here]()
Para ello queremos trazar cuidadosamente la intensidad del rayo láser en función del ángulo; sospecho que estamos buscando un bache secundario en la curva donde la reflexión de la superficie posterior de la interfaz vidrio / lámina desaparece por completo. Esto ocurrirá cuando el ángulo interno ( $\theta_2$ en mi diagrama) obedece a la relación del ángulo de Brewster.
Reescribimos esa relación como
$$n_{foil} = n_g \tan\theta_2$$
y sabemos por la Ley de Snell que
$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{n_2}{n_1}$$
Es posible que haya un rango de valores de índice de refracción para el que no haya solución. En concreto, el ángulo $\theta_2$ está limitado por la Ley de Snell a ser menor que $\sin^{-1}\frac{1}{n_g}$ por lo que este enfoque no funcionará si
$$\sin\tan^{-1}\frac{n_{foil}}{n_g} \lt \frac{1}{n_g}$$
No se garantiza que esta respuesta esté libre de errores... Tengo que comer algo y volver a revisar esto (espero que haya algunos comentarios constructivos / ediciones en el ínterin).
ACTUALIZACIÓN
Después de leer la respuesta de Chris Mueller, decidí volver a intentarlo y trazar estas curvas para la potencia reflejada dados dos índices de refracción diferentes, $n_1$ y $n_2$ (donde hay otro $n_0=1$ para el aire).
Utilizando las ecuaciones de Fresnel podemos calcular la suma de la intensidad reflejada para las reflexiones "frontal" y "posterior", suponiendo que la segunda reflexión se reflejará a su vez parcialmente en la interfaz vidrio-aire. Habrá múltiples reflexiones internas, cada una de ellas una pequeña fracción de la anterior. También puede haber reflexiones en la parte posterior de la lámina; pero como he dicho antes, voy a suponer que la luz roja del puntero láser es absorbida completamente por la lámina azul. Todo el sistema tiene ahora este aspecto:
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Entonces tenemos que utilizar las siguientes expresiones un número de veces (sufijos $s$ y $p$ representan la polarización - ya sea paralela a la superficie, o perpendicular) - estoy poniendo la intensidad incidente $i_0=1$ para simplificar (nota - actualizado para mostrar los coeficientes para intensidad no amplitud gracias a Rob Jeffries por señalar mi error):
$$R_s=\left|\frac{n_0 \cos\theta_0-n_1\cos\theta_1}{n_0 \cos\theta_0+n_1\cos\theta_1}\right|^2\\ T_s = 1 - R_s$$ $$R_p=\left|\frac{n_0 \cos\theta_1-n_1\cos\theta_0}{n_0 \cos\theta_1+n_2\cos\theta_0}\right|^2\\ T_p = 1 - R_p$$
Ahora la intensidad total reflejada es una suma infinita: si ponemos el coeficiente de reflexión en la primera interfaz como $R_1$ el segundo como $R_2$ y la reflexión en el interior de la interfaz vidrio-aire como $R_3$ entonces podemos escribir para las transmisiones correspondientes $T_1 = 1 - R_1, T_3 = 1 - R_3$ (estamos suponiendo que todo lo que se transmite a la lámina se absorbe). Entonces tenemos para la intensidad total reflejada:
$$\begin{align}R_t &= R_1 + (T_1 R_2) T_3 + T_1 R_2 R_3 R_2 T_3 + ...\\ &=R_1 + T_1 R_2 T_3 \left(1 + R_2 R_3 + (R_2 R_3)^2 + ...\right)\\ &= R_1 + \frac{T_1 R_2 T_3}{1 - R_2 R_3}\\ \end{align}$$
Esto se complica rápidamente, pero por eso todos llevamos pequeñas supercomputadoras en nuestros bolsillos...
Voy a suponer que el láser está polarizado y alineado según lo anterior, por lo que podemos utilizar sólo la expresión para $R_s$ Entonces ocurre algo muy interesante. En el ángulo Brewster, veremos un mínimo en la reflectancia - pero no será cero, ya que el haz transmitido sufrirá una reflexión parcial en la interfaz entre el vidrio y la lámina. Así que mientras $R_1$ en la expresión anterior sería 0, los otros términos no lo son. De hecho, es bastante fácil evaluar la expresión para un rango de valores de índice de refracción: y cuando se hace esto, se obtiene el siguiente gráfico:
![enter image description here]()
El código Python que utilicé para generar este gráfico (nota: no tiene en cuenta la corrección del cuadrado de la amplitud señalada anteriormente, por lo que dará un resultado cuantitativo erróneo, aunque muestra el nulo en el lugar correcto):
# use Fresnel to compute reflection from composite surface
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
def fresnel(theta1, n1, n2):
n12 = n1 / n2
st = n1/n2 * math.sin(theta1)
if st>1:
return(1, 0)
else:
theta2 = math.asin(st)
r = np.abs( (math.cos(theta1)-math.cos(theta2)*n12)/(math.cos(theta1)+math.cos(theta2)*n12))
return (r, theta2)
theta = np.arange(0, math.pi/2, 0.01)
n2 = np.arange(1, 3, 0.01)
theta0 = math.atan(1.52) # start at Brewster angle
(r1, theta1) = fresnel(theta0, 1.0, 1.52)
t1 = 1 - r1
# second reflection: range of values of n
rt2 = np.array([fresnel(theta1, 1.52, n) for n in n2])
r2 = rt2[:,0]
# probability of light escaping:
(r3, theta3) = fresnel(theta1, 1.52, 1.0)
t3 = 1 - r3
# combine the geometric series:
power = r1 + (t1 * r2 * t3) / ( 1 - r2 * r3)
# plot the result:
plt.figure()
plt.plot(n2, power)
plt.xlabel('foil index')
plt.ylabel('reflected power')
plt.title('compound reflection')
plt.show()
Ahora bien, si el índice de refracción de la lámina es mayor que el índice de refracción del vidrio, esto nos da una forma fácil de determinar el valor mirando la potencia reflejada: en el rango de valores que consideré, es casi una línea recta.
Sin embargo, si $n_2 < n_1$ Tenemos esa curiosa curva a la izquierda de la depresión de Brewster, que no es muy útil. Todavía estoy desconcertada sobre cómo se trataría ese caso.
