Prueba: $n^2 - 2$ no es divisible por 4

Question

Intenté demostrar que $n^2 - 2$ no es divisible por 4 mediante prueba por contradicción. ¿Parece esto correcto?

Supongamos que $n^2 - 2$ es divisible por $4$ . Entonces:

$n^2 - 2 = 4g$ , $g \in \mathbb{Z}$ .
$n^2 = 4g + 2$ .

Consideremos el caso en el que $n$ está en paz.

$(2x)^2 = 4g + 2$ , $x \in \mathbb{Z}$ .

$4x^2 = 4g + 2$ .

$4s = 4g + 2$ , $s = x^2, s \in \mathbb{Z}$ ya que los enteros son cerrados bajo la multiplicación.

$2s = 2g + 1$

$2s$ es par, y $2g + 1$ es impar (por definición de números pares/Impares). Un número par no puede ser igual a un número impar, por lo que tenemos una contradicción.

Considere el caso en el que $n$ es impar.

$(2x + 1)^2 = 4g + 2$ , $x \in \mathbb{Z}$

$4x^2 + 4x + 1 = 4g + 2$

$4x^2 + 4x = 4g + 1$

$4(x^2 + x) = 4g + 1$

$4j = 4g + 1$ , $j = x^2 + x, j \in \mathbb{Z}$ ya que los números enteros son cerrados bajo la adición

$2d = 2e + 1$ , $d = 2j, e = 2g; d, e \in \mathbb{Z}$ ya que los enteros son cerrados bajo la multiplicación

$2d$ es par, y $2e + 1$ es impar (por definición de números pares/Impares). Un número par no puede ser igual a un número impar, por lo que tenemos una contradicción.

Como en ambos casos hay una contradicción, la suposición original es falsa, y $n^2 - 2$ no es divisible por $4$ .

Answer 1

Su prueba es perfecta.

Podemos acortar su prueba pasando, por ejemplo, de $4x^2=4g+2$ (en el caso 1) a decir "El lado izquierdo tiene resto $0$ después de la división por $4$ pero el lado derecho tiene restos $2$ Esto es imposible" (básicamente, viendo la expresión $\mod 4$ en lugar de dividir por $2$ y mirando $\mod 2$ ).

Además, el segundo caso era trivialmente imposible, ya que $n^2=4g+2$ no tiene soluciones si $n$ es impar (desde entonces $n^2$ es impar, pero $4g+2$ es par).

Dependiendo del contexto (lo que sabes, lo que puedes usar, etc.), pasos como $x^2+x=j$ con la observación de que los números enteros se cierran bajo la adición y la multiplicación se consideran casi siempre tan triviales que no vale la pena mencionarlos. Sin embargo, repito que esto depende completamente del contexto, y si quieres asegurarte de que tu audiencia es consciente de estos hechos y/o pasos, deberías mencionarlos. Las explicaciones más detalladas con pasos rara vez perjudican a la prueba.

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Sin embargo, la prueba se puede hacer mucho más rápido (sin contradicción) buscando $\mod 4$ . Es bastante fácil demostrar que los cuadrados son $0$ ou $1\mod 4$ Así que $n^2-2$ es $-2$ ou $-1\mod 4$ y por lo tanto, $n^2-2$ no puede ser divisible por $4$ .

Answer 2

Para impar $n$ , $n^2-2$ es impar.

Incluso para $n$ , $n^2$ es divisible por $4$ para que $n^2-2$ no lo es.

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Por contradicción :

Dejemos que $n$ ser impar. Entonces $n^2-2$ es a la vez impar y un múltiplo de cuatro.

Dejemos que $n$ estar en paz. Entonces $n^2-2$ y $n^2$ son ambos múltiplos de $4$ para que $2$ es un múltiplo de $4$ .

Answer 3

Supongamos que $4 \mid n^2-2$ , para $n \in \mathbb{z}$ . Esto significa que podemos reescribir $n^2-2$ como $4k$ , lo que implica $n^2=2(2k+1)$ . Esto es claramente imposible; esto implica $4 \nmid n^2$ pero $2 \mid n^2$ . Así que nuestra suposición inicial es errónea.

Answer 4

Otra idea de prueba es la siguiente:

En primer lugar, debemos saber que cualquier cuadrado de un número entero es de la forma 4k o 4k+1.

Supongamos, por el contrario, que 4 divide $n^2-2$ entonces: $$4k = n^2-2$$ $$4k+2 = n^2$$ Una contradicción. Por lo tanto, $n^2-2$ no puede ser divisible por 4.