Aplicaciones del teorema de representatividad de Brown

Question

Actualmente estoy tratando de entender la prueba del Teorema de Representabilidad de Brown, que dice que cualquier teoría de cohomología generalizada está representada por un $ \Omega $ -espectro. ¿Alguien puede señalarme algunas aplicaciones interesantes de este teorema, dentro o fuera de la topología algebraica?

Un ejemplo que Brown proporciona en su artículo original "Teorías de Cohomología" es mostrar que el functor $$ CW_* \to Sets_*; X \mapsto \text {isomorphism classes of principal $ G $-bundles on $ X $} $$

satisface sus axiomas, y por lo tanto debe tener un espacio de clasificación $BG$ . Aquí $CW_*$ y $Sets_*$ denotan la categoría de complejos y conjuntos de armas químicas puntuales, respectivamente.

¿Hay otros? ¡Gracias!

Answer 1

Aquí hay una solicitud, no sé si es el tipo de cosa que tenías en mente.

"Cohomología con coeficientes en $A$ " $H^*(-; A)$ está representado por el espectro de Eilenberg-MacLane $K(A, n)$ porque si $X_n$ representa $H^n(-; A)$ Entonces $$ \pi_i (X_n) = [S^i, X_n] = H^n(S^i; A) = \begin {cases} A & i = n \\ 0 & i \neq n \end {cases}$$

Así que las "operaciones de cohomología", es decir, los functores $H^n(-; A) \to H^m(-; B)$ son, por el Yoneda lemma en combinación con elementos de $[K(A, n), K(B, m)] \cong H^m(K(A,n); B)$ . En particular, puedes aplicar el teorema de Hurewicz para encontrarlos a todos si $m \leq n$ .

Esto se aplica a cualquier teoría de cohomología, no sólo a la cohomología ordinaria, por supuesto: si $Y_n$ representa $h^n$ y $Z_n$ representa $k^n$ (donde $h^*$ , $k^*$ son teorías de cohomología) entonces: $$ \operatorname {Nat}(h^n, k^m) \cong \operatorname {Nat}([-, Y_n], [-, Z_m]) \cong [Y_n, Z_m] \cong k^m(Y_n)$$

Así que para computar las operaciones de cohomología "sólo" necesitas computar los grupos de cohomología de un espacio. (La pega es que los espacios en cuestión tienen un tipo de homotropía muy complicado, generalmente)