Cálculo Leibniz ' notación

Question

Actualmente estoy haciendo integración por las piezas, y estoy encontrando que la notación es lo que hace difícil para mí. Así que busqué y encontré:

$$\int u(x)v'(x)dx= u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx$$

Pero la wikipedia dice que por encima de la igualdad es el mismo que:

$$ \int u dv = uv - \int v du $$

Creo que he localizado mi problema: no veo cómo estos 2 son iguales en todo. Cómo podría saber por ejemplo que $$\int u(x)v'(x) dx = \int udv$ $

Realmente no puedo ver la equivalencia aquí.

Answer 1

El punto es que cuando Leibniz concibe la derivada, pensaba en él como el cociente de dos infinitamente pequeño número $dy$ $dx$ si $y = f(x)$, por ejemplo. En ese caso, la derivada fue realmente escrito como $dy/dx$, y desde $f'(x)=dy/dx$, $dy=f'(x)dx$ como lo infinitamente pequeño de la cantidad que $y$ varía en una tasa de $f'(x)$ al $x$ varía infinitamente pequeña cantidad $dx$.

Sin embargo, esto no es riguroso. De hecho, en el nivel de análisis, es imposible concebir que un número como una infinitesimal, y el uso de este, incluso como mera notación puede llevar a confusión. Es por eso que en el lenguaje moderno, que simplemente usamos el primer notación para denotar la derivada. La mejor cosa siguiente a reemplazar el infinitesimals $dy$ $dx$ es la noción de una forma diferenciada; hay tanto que decir que no voy a explicar aquí.

Así que, en verdad, si el uso de este material que no es riguroso ha $dv=v'(x)dx$$du=u'(x)dx$, de modo que podemos escribir:

$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$

Simplemente como:

$$\int udv = uv - \int v du$$

Ahora, entiendo que esto último es sólo una regla mnemotécnica para que la gente recuerde qué hacer cuando encuentra una integral como la que. La rigurosa versión es la primera fórmula que se deriva directamente de la regla del producto para los productos derivados.

De hecho, muchas de las anotaciones con respecto a una dimensión de las integrales que se refieren a "$u$ ser que, a continuación, $du$ es otra cosa", y así sucesivamente, son sólo reglas para recordar mejor qué hacer. Como he dicho, los $dx$, $du$ y todo lo demás puede tener un riguroso significado como formas diferenciales al estudio de la geometría diferencial.

Answer 2

Es notación abreviada muy mal que es omnipresente en todo cálculo que conduce a un montón de matemáticas handwavy. Realmente la taquigrafía lee: $dv = v'(x) dx$.

Answer 3

Sabes $\frac {dv}{dx}=v'(x)$. Ahora si tratamos $\frac {dv}{dx}$ como una fracción (aunque no lo es) y multiplique ambos lados por $dx$ (conocido como un diferencial), obtenemos el $dv=v'(x)dx$. ¿Usted puede averiguar el resto?

Answer 4

La "respuesta" se encuentra en la prueba de integración por partes. También ayuda a recordar que $v^\prime(x)=\frac{d v}{d x}$.