$\sqrt 2$ es aún?

Question

Es matemáticamente aceptable el uso de Demostrar si $n^2$ es incluso, a continuación, $n$ es incluso. para concluir, desde el 2 es incluso, a continuación, $\sqrt 2$ es aún? Más aún, el uso de ese resultado también a la conclusión de que $\sqrt [n]{2}$ es incluso para todos los n?

Argumento Similar para los números impares debe dar $\sqrt[n]{k}$ es par o impar cuando k es par impar.

Mi pregunta es ¿alguno de los de arriba ha sido considerado en el marco de una más formal o es una correcta/falta de sentido de la observación ?

Answer 1

Sí, esencialmente análogos argumentos trabajo para extender la noción de paridad de el anillo de los enteros a muchos anillos de enteros algebraicos tales como $\,\Bbb Z[\sqrt[n]{k}].\ $

Las ideas principales son: se puede aplicar la paridad de los argumentos en cualquier anillo que ha $\ \mathbb Z/2\ $ como una imagen, por ejemplo, el anillo de todos los racionales con denominador impar, o los enteros de Gauss $\rm\:\mathbb Z[{\it i}\,],\:$ cuando la imagen $\rm\ \mathbb Z[{\it i}\,]/(2,{\it i}-\!1) \cong \mathbb Z/2\ $ los rendimientos de los naturales de la paridad definición que $\rm\ a\!+\!b\,{\it i}\ $ es incluso iff $\rm\ a\equiv b\ \ (mod\ 2),\ $ es decir $ $ si $\rm\ a+b\,{\it i}\ $ mapas a $\:0\:$ a través de la por encima de isomorfismo, que los mapas de $\rm\ 2\to 0,\ i\to 1\:$.

Por lo general, es fácil demostrar que si $\rm\:2\nmid f(x)\in \Bbb Z[x]\setminus \Bbb Z\:$, entonces el número de maneras de definir la paridad en el ring $\rm\ \mathbb Z[w] \cong \mathbb Z[x]/(f(x))\ $ está dado por el número de raíces de $\rm\: f(x)\: $ modulo $2\:.\ $ supongamos que existe un homomorphism $\rm\ h\, :\, \mathbb Z[w]\to \mathbb Z/2.\:$ $\rm\:w\:$ se debe asignar a una raíz de $\rm\:f(x)\:$ $\rm\ \mathbb Z/2.\ $ si $\rm\ f(0)\equiv 0\ (mod\ 2)\ $ $\rm\: \mathbb Z[w]/(2,w) \cong \mathbb Z[x]/(2,x,f(x)) \cong \mathbb Z/2\ $ $\rm\: x\mid f(x)\ (mod\ 2),\, $ y $\rm\, \!f(1)\equiv 0\ (mod\ 2) $ $\Rightarrow$ $\rm \mathbb Z[w]/(2,w\!-\!1) \cong \mathbb Z[x]/(2,x\!-\!1,f(x)) \cong \mathbb Z/2\, $ por $\rm\, x\!-\!1\,|\, f(x)\ (mod\ 2). $

Vamos a considerar algunos ejemplos sencillos. Desde $\rm\ x^2\!+1\ $ tiene la única raíz $\rm\ x\equiv 1\ (mod\ 2),\:$ de los enteros de Gauss $\rm\ \mathbb Z[{\it i}\,]\cong \mathbb Z[x]/(x^2\!+1)\ $ tiene una definición única de la paridad, con $\:i\:$ que se extraña. Desde $\rm\ x^2\!+x+1\ $ no tiene raíces modulo $\: 2,\: $ no hay manera de definir la paridad para los enteros de Eisenstein $\rm\ \mathbb Z[w] \cong \mathbb Z[x]/(x^2\!+x+1).\, $ desde $\rm\ w^3 = 1\ $ podemos deducir que los $\rm\: w \equiv 1\ (mod\ 2)\ $ contra $\rm\ w^2\!+w+1 = 0.\ $ Por otro lado $\rm\ \mathbb Z[w] \cong \mathbb Z[x]/(x^2\!+x+2)\ $ tiene dos paridad de estructuras, puesto que tanto $\:0\:$ $\rm\:1\:$ son raíces de $\rm\ x^2\! + x + 2\ $ modul0 $\rm\:2,\:$ por lo que podemos definir $\rm\:w\:$ a ser par o impar.

Answer 2

Otros son ms responden a responder a varias ligeramente diferentes interpretaciones de su pregunta; pero tomando literalmente lo que me pediste,

Es matemáticamente aceptable el uso de "Probar si $n^2$ es incluso, a continuación, $n$ es aún." para concluir, desde el 2 es incluso, a continuación, $\sqrt 2$ es aún?

la respuesta es bastante interesante "no, pero sí".

Formalmente, la respuesta es definitivamente no: como @juan explicó, usted no puede usar ese teorema a la conclusión de lo que usted sugiere, desde el teorema y la prueba de inicio suponiendo que n es un número entero, por lo $\sqrt{2}$ no es un valor válido para $n$.

Sin embargo, es excelente y muy aceptable la práctica de matemáticas para hacer lo que hizo, y que el teorema como fuente de inspiración para la consideración de una nueva generalización de los conceptos involucrados. Y, como @KeyIdeas describe, esto puede llevar a algunos muy bonito teorías.

TL;DR: no se puede concluir este de ese teorema y la prueba, pero sin duda puede ser inspirado a lo largo de estas líneas por ellos.

Answer 3

Tenga en cuenta que ese teorema comienza con "Supongamos $n$ es un número entero, y que $n^2$ es aún." Así que no se sostiene cuando se considera $\sqrt{2}$

Answer 4

La pregunta que usted vinculados a empezar (naturalmente) con "Supongamos $n$ es un número entero", que excluye claramente a tomar $n=\sqrt 2$. Por lo tanto no puede ser utilizado para concluir que la $\sqrt2$ es incluso. Obviamente $\sqrt2$ siendo incluso es absurdo, ya que incluso los números, en particular, tienen que ser números enteros. Yo diría que su "observación" es descuidado (con vistas a las condiciones establecidas) y su siguiente razonamiento infundado (o no tiene sentido si prefiere).