Polinomios, generando el mismo $p$-campos de adic

Question

Me pregunto si lo siguiente es verdadero:

Elegir $l\in \mathbb N$ un número y que $f,g\in \mathbb Z_p[x]$ ser polinomios monic con coeficientes en el anillo de $p$-números enteros adic que $f\equiv g \pmod{p^l}$ y son irreducible mod $p^l$. Las raíces de $f$ generan el mismo campo que las raíces de $g$.

¿Alguien me puede ayudar probando esto o encontrar un contraejemplo?

Answer 1

Esto es falso. Por ejemplo, $X^2+2$ y $X^2+6$ son igual e irreducible mod $4$.

Sin embargo, puesto que $\mathbb Q_2$ no contiene una raíz cuadrada de $3$, sus raíces dan diferentes extensiones de $\mathbb Q_2$.

Answer 2

Revisa la sección de teoría del número algébrico de Lang II.2. En pocas palabras, si dos polinomios son $p$-adically entonces sus raíces están cerca también, y por lema de Krasner los campos que generan más de $\mathbb Q_p$ será el mismo.