Deje $S \subset {\Bbb R}^3$ a (suficientemente) superficie lisa, y vamos a $\sigma (t)$, $\tau(t)$ dos curvas suaves en $S$. Supongamos $\sigma(t)$ $\tau(t)$ ambos pasan por el punto de $p \in S$; sin pérdida de generalidad, podemos tomar $\sigma(0) = \tau(0) = p$. Desde $\sigma(t)$ $\tau(t)$ también son curvas en $\Bbb R^3$, su vector tangente campos $\sigma'(t)$, $\tau'(t)$ mentira en $T \Bbb R^3$, la tangente paquete de $\Bbb R^3$. Como ejemplo, podemos tomar el producto interior de $\sigma'(t)$ $\tau'(t)$ en cualquier punto como $p$ a través de la cual ambas pasan por la explotación de la Euclidiano interior de la estructura del producto $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\Bbb R^3}$, viz. tomando por ejemplo a $\langle \sigma'(0), \tau'(0) \rangle_{\Bbb R^3}$; también podemos obtener las magnitudes de estos vectores tangente para cualquier valor de $t$ en una manera similar, tomando por ejemplo, $\Vert \sigma'(t) \Vert_{\Bbb R^3} = \sqrt{\langle \sigma'(t), \sigma'(t) \rangle_{\Bbb R^3}}$ con el análogo de la expresión de la celebración de $\tau(t)$. Y, después de las normas de estos vectores tangente, podemos, en principio, calcular el lenths si la curva de segmentos tales como $\sigma(t)$, $t_1 \le t_2$, a través de la fórmula
$l(\sigma, t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \Vert \sigma'(t) \Vert_{\Bbb R^3} dt; \tag{1}$
y de nuevo, la correspondiente fórmula tiene por $\tau(t)$. Todas estas cantidades se definen con referencia a $\Bbb R^3$, dado que el todos los invocar $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\Bbb R^3}$ en sus definiciones, y de hecho el rendimiento de información geométrica sobre $\sigma(t)$, $\tau(t)$ que de ninguna manera requiere el conocimiento de la superficie de la $S$; se limita a explotar el hecho de que $\sigma(t)$, $\tau(t)$ son curvas en el espacio ambiente $\Bbb R^3$.
Por otro lado, también podemos definir un campo tensorial $I: TS \times TS \to \Bbb R$, teniendo
$I(\sigma'(0), \tau'(0)) = \langle \sigma'(0), \tau'(0) \rangle_{\Bbb R^3} \tag{2}$
para los vectores de tangentes $\sigma'(0), \tau'(0) \in T_pS$, permitiendo $p$ a variar a lo largo de $S$ y el ajuste de $\sigma(t)$, $\tau(t)$ en consecuencia, para que siempre tenemos $\sigma(0) = \tau(0) = p$, mientras que las curvas de permanecer en $S$. Este tipo de construcción permite la definición de $I$ a extenderse a todos los de $TS$. Una vez $I$ ha sido definido, es cierto que en términos de $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\Bbb R^3}$, puede ser visto como un campo tensorial en $S$ sin más referencia a $\Bbb R^3$; todas las propiedades métricas de $S$ ahora puede ser definido únicamente en términos de $I$: hemos
$\Vert \sigma'(0) \Vert_S = \sqrt{I(\sigma'(0), \sigma'(0))}, \tag{3}$
$l(\sigma, t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \Vert \sigma'(t) \Vert_S dt, \tag{4}$
y podemos definir un producto interior en $TS$ a través de
$\langle \sigma'(0), \tau'(0) \rangle_S = I(\sigma'(0), \tau'(0)). \tag{5}$
Podemos ahora considerar $I$ como una estructura definida en $TS$ solo. Al hacerlo, obtenemos todas las propiedades métricas de $S$ sin necesidad de hacer referencia de nuevo a $\Bbb R^3$.
Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,
y como siempre,
Fiat Lux!!!
