Idempotence del interior de la clausura

Question

Estoy leyendo el texto del análisis complejo de Ahlfors. Estoy atrapado en el ejercicio 5 en el capítulo 3:

Demostrar que $\overline{\overline{\overline{{\overline{X}}^c}^c}^c}^c=\overline{{\overline{X}}^c}^c$.

He manejadas para reformular la pregunta como $Int(Cl(Int(Cl(X))))=Int(Cl(X))$.

Yo he probado una inclusión así: $Int(Cl(X)) \subseteq Cl(Int(Cl(X)))$, tomando interiores de ambos lados da $LHS \supseteq RHS$. ¿Cómo puedo probar la otra inclusión? ¿Hay una manera de probar ambos a la vez?

¡Gracias!

P.d.: en el libro, espacios topológicos no han sido definidos todavía. Así podría ser cierto para espacios métricos solamente.

Answer 1

Siempre que sepa lo siguiente:

Para cualquier conjunto $A$, $Int(A)\subset A \subset Cl(A)$ y para cualquier conjuntos $A \subset B$, $Int(A) \subset Int(B)$ y $Cl(A) \subset Cl(B)$

Como usted dijo, $Int(Cl(A))\subset Cl(Int(Cl(A)))$ y tomando interiores da $Int(Int(Cl(A))) \subset Int(Cl(Int(Cl(A))))$$Int(Cl(A)) \subset Int(Cl(Int(Cl(A))))$.

En el otro sentido, tenga en cuenta que $Int(Cl(A)) \subset Cl(A)$ da $Cl(Int(Cl(A))) \subset Cl(Cl(A))=Cl(A)$$Int(Cl(Int(Cl(A)))) \subset Int(Cl(A))$.

De hecho esto es cierto para cualquier espacio topológico, como es la relacionada con el hecho de: $Cl(Int(Cl(Int(A)))) = Cl(Int(A))$. Estas dos afirmaciones nos dicen que para un conjunto dado $A$ que no se puede obtener un máximo de $7$ conjuntos (incluyendo $A$) mediante la adopción de interiores y cierres. Un buen ejercicio es encontrar la $A \subset \mathbb{R}$ donde todo el $7$ posibles conjuntos son distintos!

Answer 2

Si denotamos por a $\mathcal O(X)$ el conjunto de bloques abiertos y por $\mathcal C(X)$ el conjunto de conjuntos cerrados, a continuación, $Cl$ es una inclusión-preservar el mapa de $\mathcal O$ $\mathcal C$mientras $Int$ es un mapa de$\mathcal C$$\mathcal O$. Estos mapas de satisfacer las propiedades de $U\subseteq Int(Cl(U))$$Cl(Int(A))\subseteq A$. De ello se desprende que $Cl(U)\subseteq Cl(Int(Cl(U)))\subseteq Cl(U)$ $Int(A)\subseteq Int(Cl(Int(A)))\subseteq Int(A)$ para abrir todas las $U$ y cerró $A$. Desde $Cl(Y)$ es cerrado y $Int(Y)$ está abierto para cualquier conjunto de $Y$$X$, la igualdad de seguir.

En el lenguaje de la categoría de la teoría que dice que el $Cl$ es una izquierda functor adjunto a $Int$. No se preocupe si usted no sabe lo que significa. En un resumen de la configuración de la inclusión $U\subseteq Int(Cl(U))$ es reemplazado por morfismos $U\to F(G(U))$, y el parque natural posets $\mathcal O$ $\mathcal C$ se convierten en categorías generales con functors $F,G$ en lugar del fin de la preservación de los mapas de $Cl$$Int$. Tener un adjunto-functor par es entonces una buena relación entre el $F,G$ lo que implica cierta existencia y unicidad de las declaraciones, que son radicalmente simplificado si las categorías son sólo posets como en su caso. Por ejemplo, usted podría también han demostrado que la igualdad con el hecho de que $Cl(U)\subseteq A\iff U\subseteq Int(A)$.

Answer 3

Interior de la clausura topológica de la operación de que los modelos de doble negación en intuitionistic lógica. La negación está modelada por el interior del complemento, y intuitionistic negación satisface $N = N^3$ e lo $N^k = N^{k+2}$ para todos los positivos $k$. Doble negación $D = N^2$ por lo tanto satisface $D = D^2 = D^3 = \dots$.

El problema en Ahlfors es acerca de $D^2 = D^4$, lo que trivialmente se sigue de la anterior. Por lo que es suficiente para demostrar que dos simples hechos, que pueden ser expresados en el lenguaje de la topología con referencia a ninguna lógica:

• si $D(s)$ es el interior de la clausura de la $s$, e $N(s)$ es el interior del complemento de $s$, $D = N^2 \quad$ (explícitamente, $D(s)=N(N(s))$ para todos los conjuntos de $s$)

• $N = N^3$

El resto es sólo la asociatividad de la función de la composición.

La lógica de la interpretación de la idempotence de $D$ es que el $D$ es el operador de proyección de intuitionistic en la lógica clásica.