Componentes explícitos de $y^x=x^y$

Question

Al graficar la ecuación implícita $y^x=x^y$ parece que consiste en dos curvas posiblemente explícitas. Por un lado es la solución lineal $y=x$. Pero como parece que hay una segunda curva monótonamente decreciente como x aumentos, intersección con la curva $y=x$ en el punto de coordenadas $(2,2)$. ¿Hay alguna forma de averiguar la forma explícita de esta otra curva?

Answer 1

Usted puede obtener un sistema paramétrico de ecuaciones. Definir $y=ax$ entonces $$x^y=y^x\\x^xa^x=x^{ax}\\a=x^{a-1}\\x=a^{\frac 1{a-1}}\\y=a^{\frac a{a-1}}$ $

Answer 2

Sí, es posible, bajo ciertas definiciones de la palabra "posible".

Primero de todo, es un bien definido el concepto de modo que existe una función matemática que para cualquier $x>1$ le da la $y>1$ tal que

• Si $x = e$, $y = e$
• Si $x \neq e$, $y\neq x$
• $x^y = y^x$

Sin embargo, no es fácil de describir. Conectarlo a WolframAlpha, obtenemos el resultado $$ y = -\frac{x\W\left(-\frac{\ln(x)}{x}\right)}{\ln(x)} $$ donde $W$ es la de Lambert $W$ función (la inversa de a $x\mapsto xe^x$), y personalmente no tengo ningún problema en creer que este es el más simple desciption. Estoy seguro de que es posible aplicar ingeniería inversa a una prueba de esta relación ahora que tenemos la respuesta, pero yo no envidio a nadie que tendría que hacer este ciego.

Answer 3

Si $x^y = y^x$, luego de tomar los registros de ambos lados da $y \log x = x \log y$, lo $\frac{\log x}{x} = \frac{\log y}{y}$. La función de $f(x) = \frac{\log x}{x}$ satisface $f(1) = \lim_{x \to \infty} f(x) = 0$, y un aumento de hasta el $x = e$ y disminuyendo después. Esto nos dice que para $x > 1$, hay exactamente dos valores de $y$ tal que $f(y) = f(x)$, incluyendo a $y = x$ y un valor de $y$ en el otro lado de la $e$. (Excepto, por supuesto,$x = e$, de la cual sólo se $y = e$). En particular, esto implica que las dos curvas se cortan en $(e, e)$, no $(2, 2)$.

Por desgracia, parece que la inversa de a $f$ (es decir, la producción de valores entre el $1$ $e$ o de $e$$\infty$) no es una función primaria. Como Arthur señaló en su respuesta, WolframAlpha expresa el resultado en términos de la función W de Lambert, la cual está relacionada a la inversa de $f$.

Answer 4

Arturo le dio una forma explícita usando la función W de Lamber. Os presento un enfoque más algorítmico utilizando torres de energía. Reorganizar $x^y=y^x$ %#% $ de #% sea al definir $$x=\sqrt[y]{y}^x.$, entonces para un determinado $z:=\sqrt[y]y$ puede calcular % $ $y$que no obivous que esto incluso converge, pero comprobar por ti mismo mediante el uso de la regla recursice $$x=z^{z^{z^{\cdots}}}.$ y $x_0=1$.