Voy a suponer tanto $E_0$ $E_1$ son acotados. Deje $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ ser disjuntas positivamente orientada a simple contornos cerrados en $\Omega$ adjuntando $E_0$ $E_1$ respectivamente, y $\Gamma_2$ un gran positivamente orientada al círculo que encierra tanto $\Gamma_0$$\Gamma_1$. Deje $\Omega_1$ ser la región dentro de$\Gamma_2$, pero fuera de $\Gamma_0$$\Gamma_1$. A continuación, para
$z \in \Omega_1$ tenemos por Cauchy de la integral de la fórmula,
$$ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \left( \int_{\Gamma_2} \frac{f(\zeta)\ d\zeta}{\zeta - z}
- \int_{\Gamma_0} \frac{f(\zeta)\ d\zeta}{\zeta - z} - \int_{\Gamma_1} \frac{f(\zeta)\ d\zeta}{\zeta - z} \right)$$
Si usted no está familiarizado con esta versión de la fórmula de Cauchy, puede dibujar delgada "corredores" conexión de $-\Gamma_0$, $-\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en un solo contorno cerrado que encierra $z$.
Si $$f_k(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma_k} \frac{f(\zeta)\ d\zeta}{\zeta - z}$$
esto dice $f(z) = f_2(z) - f_0(z) - f_1(z)$ donde $f_2(z)$ es analítica en todo el interior $\Gamma_2$, $f_0(z)$ es analítica en todas partes fuera de $\Gamma_0$, e $f_1(z)$ es analítica en todas partes fuera de $\Gamma_1$. Por otra parte, los valores de $f_k(z)$ no dependen de la elección de los contornos, mientras $z$ está dentro de $\Gamma_2$ y fuera de $\Gamma_0$$\Gamma_1$. Haciendo $\Gamma_2$ suficientemente grande y
$\Gamma_0$ $\Gamma_1$ lo suficientemente cerca de a$E_0$$E_1$, cualquier punto en $\Omega$ puede ser incluido. Así que en realidad tenemos $f(z) = f_2(z) - f_0(z) - f_1(z)$ todas partes en $\Omega$, $f_2(z)$ toda $f_0(z)$ analítica fuera de $E_0$ $f_1(z)$ analítica fuera de $E_1$.
