Desigualdad en el espacio lineal normado implica independencia

Question

Supongamos $X$ es una normativa espacio lineal sobre $\mathbb{R}$, y $v_1, \cdots, v_n \in X$ son vectores unitarios. Además, se supone que hay existe $\epsilon \in (0, 1/2)$ tal que para cualquier constantes de $c_i \en \mathbb{R}$, we have $$\left \| \sum_{i=1}^{n} c_i v_i \right \| \le (1+\epsilon) \max_{1\le i \le n} |c_i|.$$ Demostrar que la colección $\{v_i\}$ es linealmente independiente.

Mi primer pensamiento es tratar de delimitación $\left \|\sum_{i=1}^{n} c_i v_i \right \|$ por debajo en términos de $\epsilon$ $\max_{1\le i \le n} |c_i|$ pero no estoy seguro de cómo ir sobre hacer esto. Si esto puede ser hecho que el obligado es siempre positivo, independencia lineal, por supuesto, seguir. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

El $\epsilon \in (0, 1/2)$ del requisito puede reemplazarse por una más débil de $\epsilon \in [0, 1)$. Argumentando por contradicción, supongamos que $\{v_i\}$ son linealmente dependientes. Por lo tanto, existen $a_1, a_2, \ldots, a_n$, no todos ellos $0$, que $$\sum_{i = 1}^n a_iv_i = 0.$$Without loss of generality, suppose$$|a_1| = \max\{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_n|\}.$$We have$$2a_1v_1 = a_1v_1 - \sum_{i = 2}^n a_iv_i.$$Therefore,$$2|a_1| = \left\|a_1v_1 - \sum_{i = 2}^n a_iv_i\right\| \le (1 + \epsilon) \max_{1 \le i \le n} |a_i| = (1 + \epsilon)|a_1|,$$a contradiction, since $ a_1 \neq 0$.