Estoy tratando de resolver la Ley de Newton del Enfriamiento de ecuaciones diferenciales con la transformada de Fourier Transforma de una escuela secundaria de matemáticas informe. Puede transformadas de Fourier ser utilizados para la solución de primer orden ecuaciones diferenciales ordinarias? La ecuación es: $\frac{dT}{dt} = -kT + kT_a$ donde $k$ $T_a$ son constantes. Puesto que la transformada de Fourier es un operador lineal, tomé la transformación de cada uno de los tres términos: $$F\{T'\} = F\{-kT\} + F\{kT_a\}$$ $$F\{T'\} = -kF\{T\} + kT_aF\{1\}$$ The Fourier transform of 1 should be $\delta(s)$, so: $$F\{T'\} = -kF\{T\} + kT_a\delta(s)$$ The transform of the derivative of a function, using $s$ instead of $\omega$ in the formulas, is $F\{T'\} = 2\pi isF\{T\}$. Substituting this into the original equation, $$2\pi isF\{T\} = -kF\{T\} + kT_a\delta(s)$$ Adding the terms with the transform should yield $$2\pi isF\{T\} +kF\{T\} = kT_a\delta(s)$$ $$F\{T\}(2\pi is +k) = kT_a\delta(s)$$ $$F\{T\} = \frac{kT_a\delta(s)}{2\pi is + k}$$. The formula for the Inverse Fourier Transform is $f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi ist} F(s) ds$. Thus $$T = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{2\pi ist} \delta(s) kT_a}{2\pi is + k}ds$$, which I evaluated to $T_a$, dropping the integral and plugging in 0 for $s$ due to the $\delta(s)$ function...however, the actual solution to the differential equation is $T_a + Ae^{-kt}$, donde a es Una constante. ¿De dónde me salen mal?
Respuesta
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bkosztin
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De Fourier puede utilizarse sin duda para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Tenga en cuenta que si se aplica una transformación de Fourier de la forma ordinaria con respecto a la variable $t$, implícitamente asume que $- \infty < t < + \infty$, es decir, usted no tiene ningún límite. Esta es la razón por qué usted no puede incluir límites o condiciones iniciales. Si aplicamos Laplace transforma aunque para sacarle $T_a + A e^{-kt}$.
