Entender una prueba famosa por Jitsuro Nagura: necesita ayuda para entender un paso en el teorema principal

Question

Estoy pasando por la prueba por Jitsuro Nagura que demuestra que siempre hay un primer entre el $x$ $\frac{6x}{5}$ donde $x \ge 25$.

Nagura utiliza las siguientes definiciones:

$$\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p$$

$$\psi(x) = \sum_{m=1}^{\infty}\vartheta(\sqrt[m]{x})$$

Entonces, como parte de la principal teorema dice:

$$\psi(x) - \psi(\sqrt{x}) - \psi(\sqrt[3]{x}) \ge \vartheta(x) \ge \psi(x) - \psi(\sqrt{x}) - \psi(\sqrt[3]{x}) - \psi(\sqrt[5]{x})$$

He revisado esta desigualdad y no estoy claro en su justificación. Si alguien podría ayudar a explicar cómo esta desigualdad es probado, realmente agradecería

Gracias,

-Larry

---

Actualización: creo que he descubierto la parte de la desigualdad.

Si yo estoy haciendo mis cuentas, a la derecha:

$$\psi(x) - \psi(\sqrt{x}) - \psi(\sqrt[3]{x}) - \psi(\sqrt[5]{x}) = $$

$$\vartheta(x) - \vartheta(\sqrt[6]{x}) + \vartheta(\sqrt[7]{x}) - \vartheta(\sqrt[10]{x}) + \vartheta(\sqrt[11]{x}) - \vartheta(\sqrt[12]{x}) + \vartheta(\sqrt[13]{x}) - \vartheta(\sqrt[15]{x}) + \vartheta(\sqrt[17]{x}) - \vartheta(\sqrt[18]{x}) + \vartheta(\sqrt[19]{x}) -\vartheta(\sqrt[20]{x}) +\vartheta(\sqrt[23]{x}) - \vartheta(\sqrt[24]{x}) + \vartheta(\sqrt[29]{x}) -2\vartheta(\sqrt[30]{x}) + \ldots \le $$

$$\vartheta(x) - \vartheta(\sqrt[6]{x}) + \ldots + \vartheta(\sqrt[30]{x}) + \ldots$$

Por las propiedades de la disminución de las secuencias de la alternancia de los signos:

$$\vartheta(x) - \vartheta(\sqrt[6]{x}) + \ldots + \vartheta(\sqrt[30]{x}) + \ldots \le \vartheta$$

Answer 1

No es demasiado difícil ver lo que está pasando en estos límites. Fijar un $x$ y deje $a_k = \vartheta(\sqrt[k]{x})$. A continuación, $\psi(x) = \sum_k a_k$ y, más generalmente,$\psi(\sqrt[n]x) = \sum_k a_{nk}$. Como se nota en la edición, la secuencia de $\{a_k\}$ está disminuyendo, aunque no estrictamente (en realidad es el tiempo cero).

Por lo $\psi(x) - \psi(\sqrt[2]x) = \sum_{k~\text{odd}} a_k = a_1 + \sum_k a_{2k+1} \ge a_1 + \sum_k a_{3k} = \vartheta(x) + \psi(\sqrt[3]x).$

Por otro lado, un cálculo cuidadoso muestra que $\sum_k a_{3k} + \sum_k a_{5k} \ge \sum_k a_{2k+1}$. No puedo ver no tedioso para probar esto, pero es fácil decir que los primeros términos de la izquierda dominan los de la derecha, y desde $\tfrac13 + \tfrac15 > \tfrac12$, y la LHS, tiene una mayor densidad de términos de los RHS en el largo plazo (la única pregunta es cómo muchos de los términos iniciales basta para probar).

Una intuitiva motivación para que estas desigualdades viene de Möbius de la inversión, lo que da la fórmula exacta

$$\vartheta(x) = \sum_{k=1}^\infty \mu(n) \psi(\sqrt[n]x) = \psi(x) - \psi(\sqrt[2]x) -\psi(\sqrt[3]x) - \psi(\sqrt[5]x) + \psi(\sqrt[6]x) - \cdots$$

Al $x$ es suficientemente grande, el tamaño de cualquier término es mayor que todos los términos a la derecha, por lo que este se comporta, en cierto sentido, como una de las series de aproximación. Si nos truncan antes de la $-\psi(\sqrt[5]x)$ plazo se espera obtener una sobreestimación (de ahí la primera desigualdad), mientras que si nos truncan antes de la $+ \psi(\sqrt[6]x)$ plazo se espera obtener un subestimar (de ahí la segunda desigualdad). Lo que tiene de más la atención es el establecimiento de esta para todos los $x$ grandes o pequeños.