¿La derivada direccional no lineal?

Question

Es posible que la derivada direccional de una función de $f$ en la dirección de un vector $v$, $D_vf(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + hv) - f(x)}h$ existir para cada vector de $v$, y $v \mapsto D_vf(x)$ deja de ser lineal? Aquí tenemos una función que parece mostrar que el fenómeno: $$f(x,y) = \frac{32x^3}{x^2 + y^2} - \frac{16x^5}{(x^2 + y^2)^2} - 14x$$

Como se puede ver, si usted sigue el mapa en el origen en la dirección de cualquier vector, que parece seguir una línea recta, es decir, la derivada en esa dirección es constante en la dirección de $v$. Sin embargo, la "pendiente" en cada dirección es claramente no se comporta en forma lineal. Es este realmente el caso? O es sólo una engañosa gráfica? Estoy inclinado a creer que el anterior, pero de lo que estoy buscando es un argumento riguroso.

Además, bajo qué condiciones puede un derivado no ser lineal? O, ¿cuáles son las condiciones necesarias para asegurarse de que una prueba de que "la derivada direccional es lineal" realmente funciona?

Answer 1

El mapa $ v\mapsto D_vF(x_0)$ es lineal cuando la función $f$ diferenciable en $x_0$. En ese caso, existe un mapa linear $ df(x_0)$ tal que $D_vF(x_0)=\langle df(x_0),v\rangle $. Existen funciones que tienen todos los derivados direccionales $D_vF(x_0)$ en un $ x_0$, pero no sean diferenciables, en concreto el mapa anterior es no lineal.

Answer 2

Sin duda esto puede suceder. El ejemplo clásico es $f(x,y) = xy/(x^2+y^2).$ si dejamos $v=(a,b),$ $D_v(0,0) = ab/(a^2+b^2).$ la última expresión no es una función lineal de $(a,b).$

Answer 3

Echemos un vistazo a su función $$f(x,y) = \frac{32x^3}{x^2+y^2} - \frac{16x^5}{(x^2+y^2)} - 14 x$$ Voy a usar la notación $D_x = D_{(1,0)}$$D_y = D_{(0,1)}$. A continuación, $$D_x f(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \frac{32h^3}{h^3} - \frac{16h^5}{h^5} - 14\frac{h}{h} = 2$$ y $$D_y f(0,0) = \lim_{h\to0}\frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = 0$$ Pero, $$D_{(1,1)}f(0,0) = \lim_{h\to0}\frac{f(h,h)-f(0,0)}{h}= \frac{32h^3}{2h^3}-\frac{16h^5}{4h^5} - 14\frac{h}{h} = -2\not= D_xf(0,0) + D_yf(0,0)$$ Por lo $D_v$ es no lineal en $v$$(0,0)$.

---

En el orden de la derivada direccional a ser lineal en $v$ a un punto de $x$, es suficiente que la derivada parcial $D_x$ $D_y$ (e $D_z$, etc. para dimensiones superiores) sea continua en $x$. Para ver por qué, se observa que la $$D_{(v_x, v_y)} f(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+hv_xe_1+hv_ye_2) - f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+hv_xe_1+hv_2e_2) - f(x+hv_ye_2)}{h} + \lim_{h\to0} \frac{f(x+hv_ye_2) - f(x)}{h}$$ El segundo término reconocemos como $D_{(0,v_y)}f(x)= v_yD_yf(x)$, mientras que por el Valor medio Teorema podemos re-escribir el primer término como $$\lim_{h\to 0} v_xD_xf(x+hv_ye_2+ce_1)$$ para algunos $c$$0$$h$. Pero, por la continuidad de $D_xf$ cerca de $x$, este límite es, simplemente,$v_xD_xf(x)$. Por lo tanto, $$D_{(v_x,v_y)}f(x) = v_xD_xf(x) + v_yD_xf(x)$$ es lineal en $v$.