¿Qué puntos del espacio afín pueden ser mapeados a cero por un morfismo étale?

Question

Sea $K$ sea un campo y $n$ un número entero positivo.

Para qué puntos $x\in\mathbb{A}^n_K$ ¿puedo encontrar un morfismo étale $f_x:\mathbb{A}^n_K\to \mathbb{A}^n_K$ cartografía $x$ a cero y cómo se ve tal morfismo a nivel de $K$ -algebras $g_x:K[X_1,\ldots,X_n]\to K[X_1,\ldots,X_n]$ ?

Edición: Por ''puntos'' $x\in\mathbb{A}^n_K$ Me refiero a "elementos de $\operatorname{Spec} K[X_1,\ldots,X_n]$ '', todos ideales primos.

Answer 1

Una condición necesaria para $f_x:\mathbb{A}^n_K\to \mathbb{A}^n_K$ ser étale a $x$ es que la ampliación $K\to \kappa(x)$ sea finitamente separable .
Esto implica que $x$ es un punto cerrado de $\mathbb{A}^n_K$ pero no necesariamente racional.

Por ejemplo, el morfismo $f:\mathbb{A}^1_\mathbb Q\to \mathbb{A}^1_\mathbb Q$ inducida por $\mathbb Q[T]\to \mathbb Q[X]: T\mapsto X^2-2$ mapea el punto no racional $x\in \mathbb{A}^1_\mathbb Q$ correspondiente al ideal primo $(X^2-2)\in \mathbb Q[X]$ al origen $0\in \mathbb{A}^1_\mathbb Q$ [correspondiente a $(T)\in \operatorname{Spec}(\mathbb Q[T])$ ] del codominio de $f$ .
Este morfismo $f$ es etal en $x$ pero no es étalo globalmente, ya que no es étalo en el origen. $(X)\in \operatorname{Spec} (\mathbb Q[X])=\mathbb A^1_\mathbb Q$ del dominio del morfismo $f$ .

Creo que la búsqueda de morfismos globally étale como en su pregunta podría ser bastante difícil, ya que incluso los automorfismos del espacio afín son intratables, como atestigua la notoria conjetura jacobiana.