Homeomorfismo vs homotopía (equivalencia)

Question

Tratando de cepillar para arriba en algunos geométrica y algebraica topología, me puse un poco confundido acerca de lo siguiente:

Supongamos que tenemos la unidad estándar de la esfera $S^2$, pero lo quite sus polos norte y sur. Es este espacio topológico homeomórficos o homotópica a $S^1 \times \mathbb{R}$? Me gustaría pensar que no son homotópica ya que no creo que ambos espacios son la deformación se retrae, son ellos? Ahora sé que la proyección estereográfica es un mapa de $S^2$ en el avión, pero que sólo implica la eliminación de cualquiera de los del norte o el polo sur, ¿correcto?

Answer 1

Los dos espacios son homeomórficos. $S^2$ menos un punto es identificado por proyección estereográfica con $\mathbb{R}^2$, por lo que es homeomorfa con decir $S^2$ $\mathbb{R}^2 \backslash \{0\}$ menos dos puntos. Identificación de $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{C}$ y $S^1$ $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, el Homeomorfismo

$\mathbb{R}\times \mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong \mathbb{C} \backslash \{0\}$

se da en $(r,\theta)\mapsto e^re^{2\pi i\theta}$.