¿Es la convolución de una función $f(x)$ y un polinomio $p(x)$ siempre un polinomio?

Question

Después de leer la siguiente pregunta:

¿Cómo puedo probar una convolución es un polinomio?

Quiero preguntar si es que es siempre el resultado esperado, es decir, hace la siguiente tiene?

Una convolución de una función de $f(x)$ y un polinomio $p(x)$ siempre resultado de un polinomio

Es eso cierto?

Si es así, ¿cómo demostrar que? si no, se puede dar un contraejemplo?

Si la respuesta depende de las propiedades de $f(x)$, la continuidad, la diferenciabilidad, o cualquier otra cosa, por favor describa las propiedades requeridas.

Por ejemplo, he demostrado fácilmente que si $f(x)$ es como: $$f(x)=u(x)\,\mathrm{e}^{-x}\,q(x)$$ donde $u(x)$ es la unidad de función de paso y $q(x)$ es cualquier polinomio, entonces la convolución de $f(x)$ $p(x)$ será un polinomio con el mismo grado de $p(x)$.

Answer 1

Deje $p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k$,$a_n\ne 0$, e $\varphi$ una función para la que $p*\varphi$ es definible - por ejemplo, esto es posible si $\varphi$ tiene soporte compacto o muere suficientemente rápido como $|x|\to \infty$.

Entonces $$ (p*\varphi)(x)=\int_{-\infty}^\infty \varphi(t)\,p(x-t)\,dt. $$ Ahora, si $\varphi$ posee la "agradable" deterioro de las propiedades descritas anteriormente, podemos diferenciar dentro de la integral (en virtud de Lebesgue Teorema de Convergencia Dominada), y obtener $$ (p*\varphi)^{(\ell}(x)=\int_{-\infty}^\infty \varphi(t)\,p^{(\ell}(x-t)\,dt, $$ para cada $\ell\in\mathbb N$. Pero $p^{(n+1)}(x-t)\equiv 0$, y, por tanto,$(p*\varphi)^{(n+1)}(x)\equiv 0$, lo que significa que $p*\varphi$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $n$.

Answer 2

Depende. Si usted toma una convolución por la transformada de Fourier, $$(f*p)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(y) p(x-y) dy = \int_{-\infty}^\infty f(y) \sum_{k=0}^n a_k (x-y)^k dy = \int_{-\infty}^\infty f(y) \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^k a_k {k \choose j} x^{j} y^{k-j} dy$$ o, para hacerlo más pronunciada, $$ \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^k a_k {k \choose j} \left(\int_{-\infty}^\infty f(y)y^{k-j} dy\right) x^{j}$$ lo que es claramente un polinomio en $x$. Todo esto supone $(f*p)(x)$ está bien definido, para empezar.

Como alternativa, en este caso, señalando que los derivados pueden pasar a través de cuando convolving con una función suave,

$$\frac{d^n}{dx^n} (f*p)(x)=(f*p^{(n)})(x)$$ y elija $n$, de modo que $p^{(n)}=0$.

Sin embargo, si usted toma la convolución de la transformada de Laplace de estilo, tome $p(x)=1$ para obtener

$$(f*p)(t) = \int_0^t f(\tau) p(t-\tau) d\tau = \int_0^t f(\tau)d\tau.$$

Si usted escoge $f(\tau) = e^\tau$, por ejemplo, no se obtiene un polinomio.