¿Es cierto que $\operatorname{colim}\operatorname{Hom}_{R_i}(M,N)$ es isomorfo a $\operatorname{Hom}_{\lim R_i}(M,N)$?

Question

Supongamos que tenemos un sistema de anillo homomorphisms $\cdots \to R_{i+1} \stackrel{f_i}{\to} R_i \to \cdots \stackrel{f_0}{\to} R_0$ (podemos suponer que todos los mapas son inyectiva, pero no es necesario para mis necesidades), y $M,N$ $R_0$- módulos. A través de la $f_i$, que también se $R_i$-módulos para cualquier $i$, y cualquier $R_i$-lineal mapa entre ellos también se $R_{i+1}$-lineal (debido a $R_{i+1}$ actúa a través de la $f_i$ y la acción de la $R_i$), por lo que tenemos un sistema de $\operatorname{Hom}_{R_0}(M,N)\to \operatorname{Hom}_{R_1}(M,N) \to \cdots \to \operatorname{Hom}_{R_i}(M,N)\to \cdots$.

La pregunta entonces es:

Es $\operatorname{colim}_i \operatorname{Hom}_{R_i}(M,N) \simeq \operatorname{Hom}_{\lim_i R_i}(M,N)$?

Ingenuamente, el lado izquierdo es "todo lo que es $R_i$-lineal para todos los $i$ lo suficientemente grande", y el lado derecho es, así, el mismo. Parece un poco demasiado bueno para ser verdad, pero no estoy seguro de dónde (si en cualquier lugar) se produce un error. Qué sutileza que me estoy perdiendo?

Answer 1

Por desgracia, no es cierto. El problema radica en su interpretación de la mano izquierda; más bien debería ser "todo lo que se $R_i$-lineal para algunos $i$".

Para un contador de ejemplo, vamos a $R_i=\mathbf Z[x_i, x_{i+1}, \dots]$ ser el polinomio anillo en countably muchas variables marcadas por los números enteros a partir de con $i$. Deje $R_{i+1} \to R_i$ ser la inclusión. A continuación,$R:= \varprojlim R_i = \mathbf Z$. Una $R_0$-módulo es un grupo abelian $M$ con una distinguida colección de endomorphisms $f_0, f_1, \dots$. Un elemento de

$$\varinjlim \text{Hom}_{R_i}(M, N)$$

es una de morfismos de abelian grupos que conmutan con la distinguida endomorphisms suficientemente alto grado. Por otro lado, un elemento de $\text{Hom}_R(M, N)$ es sólo una de morfismos de abelian grupos, sin ningún tipo de condiciones. En general, habrá muchos más de estos.

Sin embargo, tiene el derecho de decir que no es un mapa de $\varinjlim \text{Hom}_{R_i}(M, N) \to \text{Hom}_R(M, N)$. Es decir, dado un morfismos $\varphi \in \text{Hom}_{R_i}(M, N)$, se puede tomar la "restricción de escalares" a lo largo de los morfismos $R\to R_i$ a verlo como un morfismos $\varphi \in \text{Hom}_R(M, N)$.