Calcular el campo eléctrico inducido por un campo magnético cambiante

Question

Quiero trazar el campo eléctrico (como un gráfico de campo vectorial) que es inducido por un campo magnético cambiante para algunos casos simples.

Supongamos, por ejemplo, que el campo magnético cambia linealmente (o cuáticamente) con t. Entonces se puede calcular el rizo $\nabla \times \vec{E}$ de $\vec{E}$ a través de:

$$ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$

como en esta pregunta . Sin embargo, esto no le da una solución única para $\vec{E}$ .

Supongo que la solución será única si añado algunas condiciones de contorno. Pero no sé cómo hacer esto en detalle.

Suponga que tiene el montaje experimental, que el campo magnético es (homogéneo y) perpendicular a un área determinada $A$ en el $x_1$ , $x_2$ plano (por ejemplo $A$ siendo un área circular o rectangular) y cero para cada punto $P$ que $x_1$ y $x_2$ coordenadas están fuera de $A$ .

Lo que se necesita para el montaje experimental para que la solución sea única. Cómo calcular la solución en detalle, qué aspecto tendrá?

Editar: Como en mi ejemplo no hay cargas, también tienes la ecuación $\nabla\cdot \vec{E} = 0$ . Pero no veo cómo esto ayuda.

Edición2

Esto es lo que he probado hasta ahora:

Si se supone que el campo eléctrico es simétrico alrededor del $x_3$ eje (pero por qué ¿Puedo suponerlo?) se podría proceder de la siguiente manera:

Dejemos que $\gamma$ sea una trayectoria circular en el $x_1$ - $x_2$ -plano con radio $r$ y el centro $(0,0,0)$ :

$$ 2\pi r |\vec{E}| = \int_{\gamma} \vec{E} d\vec{s} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\pi r^2 \frac{d |\vec{B}(t)|}{d t} $$

lo que implica:

$$ |\vec{E}| = - \frac{r}{2} \frac{d |\vec{B}(t)|}{d t} $$

Pero esto sólo da el valor absoluto de $\vec{E}$ y no la dirección. Además, depende linealmente de $r$ lo que significa que va a $\infty$ si $r$ va a $\infty$ . Pero eso me parece muy poco intuitivo.

Además, no hay ningún punto distinguido, por lo que tal vez sea mejor asumir la invariancia de traslación...

Edición 3

Pregunta extra: ¿Cómo resolverlo mediante ecuaciones diferenciales (no utilizando la forma integral)?

Answer 1

Ya casi está. Para el argumento de la simetría: primero nota que la ley de Faraday, $\oint\textbf{E} \cdot d\textbf{l}=-\frac{d\Phi}{dt}$ , se parece a la ley de Ampère de la electrostática: $\oint\textbf{B}\cdot d\textbf{l}=\mu_0 I$ .

Consideremos ahora una corriente (o una densidad de corriente homogénea) que apunta al positivo $x_3$ -dirección. ¿Cuál es la dirección del campo magnético que produciría dicha corriente? De hecho, utilizando la regla de la mano derecha (o cualquiera de tus argumentos de simetría favoritos) se deduce fácilmente que el $\textbf{B}$ -campo rodea la corriente, es decir, es simétrico alrededor del $x_3$ -y apunta en sentido contrario a las agujas del reloj. Confío en que conozcas las simetrías de los campos magnéticos producidos por corrientes estables.

Compara ahora la forma de las leyes de Faraday y de Ampère. Como las leyes son exactamente iguales, es fácil ver que el campo eléctrico debido a una disminución del flujo en el $x_3$ -tendrá la misma simetría que un campo magnético debido a una corriente (densidad) en el $x_3$ -dirección. Por lo tanto, aquí el $\bf{E}$ -campo también será simétrico alrededor del $x_3$ -y apuntará en la dirección acimutal. (Apuntará en el sentido de las agujas del reloj si el flujo aumenta, pero esto se deduce del cálculo).

Por lo tanto, podemos hacer el cálculo de la misma manera que usted lo hizo, dando como resultado

$\textbf{E}=-\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}\hat{\phi}$ como ha señalado. (Aquí $\textbf{B}(t)=B(t) \hat{x}_3$ .)

Tenga en cuenta que en su cálculo ya había asumido que $\textbf{E}$ está en el $\hat{\phi}$ dirección cuando dijo que $2\pi r |\vec{E}| = \int_{\gamma} \vec{E} d\vec{s}$ ya que esto supone que $\bf{E}$ y $d\bf{s}$ son paralelos.

Lo último que hay que tener en cuenta es que su cálculo se mantiene cuando su contorno $\gamma$ está en el círculo $A$ donde el flujo cambia. Sea $R$ sea el radio de $A$ . Si $\gamma$ está fuera $A$ entonces encierra todo el flujo, por lo tanto $\frac{d\Phi}{dt}=\pi R^2\frac{dB}{dt}$ de modo que para $r>R$ obtenemos

$\textbf{E}=-\frac{R^2}{2r}\frac{dB}{dt}\hat{\phi}$ ,

que se desvanece agradablemente como $r\rightarrow \infty$ .

Por último, obsérvese que si calculáramos el campo magnético producido por una densidad de carga volumétrica $\textbf{J}=J_0\hat{x}_3$ con $J_0$ constante, y se sustituye en nuestra respuesta $J_0$ por $-\frac{1}{\mu_0}\frac{dB}{dt}$ obtendríamos exactamente el campo eléctrico de arriba.