Voy a asumir que todos los de su $V_i$ son de hecho el mismo espacio vectorial $V$, o de lo contrario no entiendo lo que su notación. A continuación, $S_n$ actúa en $G \times \dots \times G$ por permuting los factores (en su ejemplo,$G = GL(V)$, pero este argumento se aplica más generalmente), y su semidirect producto es una corona de producto
$$G \wr S_n = (G \times \dots \times G) \rtimes S_n.$$
Usted puede pensar de los elementos de la corona de producto como "permutación de matrices", donde cada uno distinto de cero en la entrada de la permutación de la matriz, en lugar de ser un $1$, es un elemento de $G$. Si $G$ actúa sobre un objeto a $X$, entonces la corona producto natural que actúa sobre la "$n^{th}$" $X$
$$X^{\otimes n} = X \otimes \dots \otimes X$$
donde $\otimes$ es cualquier monoidal simétrica estructura, tales como la suma directa o producto tensor de espacios vectoriales, o la inconexión de la unión o producto cartesiano de conjuntos. La idea es que las copias de $G$ act "de las componentes" en cada copia de $X$ "individual", mientras que el $S_n$ acto por el permuting la $X$.
Se puede comprobar que esto funciona mediante la comprobación de que la definición de la relación de la semidirect producto tiene. Para mí la más forma de escribir es como sigue: si $N \rtimes H$ es un semidirect producto, con $\varphi : H \to \text{Aut}(N)$ la definición de la acción (que aquí es por permutación), entonces la definición de la relación
$$hnh^{-1} = \varphi(h) n.$$
En general, si dos grupos de $G$ $H$ act en algo, todo lo que se puede concluir es que su producto libre de $G \ast H$ también actúa. Para obtener una semidirect producto que usted necesita, entre otras cosas, un candidato a la acción de uno de los grupos en el otro. En el caso de que el candidato de acción es por permuting factores, pero en general debe ser proporcionado datos adicionales.
