Supongamos $f,g: X\to S^1$ son tales que $f(x)\neq -g(x)$ cualquier $x\in X$. Necesito construir una homotopy entre estas dos funciones. Ahora, el hecho de que $f(x)\neq -g(x)$ garantiza que siempre hay un único camino más corto entre la $f(x)$ $g(x)$ cualquier $x$, supongamos que llamamos a $\omega_{f(x),g(x)}: I\to S^1$. De hecho, podemos pensar de $\omega$ como una función $$ \omega: S^1\times S^1\times I\a X $$ A continuación, un homotopy se verá como $$ h: X\times I\S^1 $$ $$ h(x,t)=\omega(f(x), g(x), t) $$ así que, efectivamente, $h(x,0)=f(x), h(x,1)=g(x)$ cualquier $x\in X$. El homotopy es continua porque es una combinación de funciones continuas en cada variable. He construido el derecho homotopy y es que hay tal vez una manera de encontrar una fórmula explícita para $\omega$? He intentado hacer eso, pero lo que resulta realmente complicado.
Respuesta
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Usted está en lo correcto en términos generales, pero usted no ha dicho cómo sabes que $\omega$ es una función continua de dos argumentos. Sugiero la construcción de la homotopy $\omega$ explícitamente como sigue:
Para cada una de las $x$, la línea recta de $f(x)$ $g(x)$pasa a través de la unidad de disco, pero no golpea el origen (porque $f(x) \ne -g(x)$). Podría escribir $$ k(x, t) = (1-t) f(x) + t g(x). $$
Evidentemente $k$ es una función continua de $x$$t$.
Ahora desde $k(x, t)$ no es el origen de cualquier $(x, t)$ par, usted puede radialmente proyecto a la unidad de círculo; que le da la homotopy que estás buscando.
